У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Формула Эйлера, значэнні.
Формула Эйлера звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.
Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці)
x
{\displaystyle x}
выконваецца наступная роўнасць:
e
i x
= cos x + i sin x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
, дзе
e
{\displaystyle e}
— адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай:
lim
x → ∞
(
1 +
1 x
)
x
{\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}
,
i
{\displaystyle i}
Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (лац.: Logometria), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе[1] і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (лац.: Harmonia mensurarum), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара[2]. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд[3]:
i x .
{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.}
Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» (лац.: Introductio in analysin infinitorum) (1748)[4], пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у Г. Весселя.
З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі
sin
{\displaystyle \sin }
і
cos
{\displaystyle \cos }
наступным чынам:
e
i x
−
e
− i x
2 i
,
{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}
e
i x
e
− i x
2
.
{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}
Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай
i y
{\displaystyle x=iy}
, тады:
e
− y
−
e
y
2 i
= i
s h
y ,
{\displaystyle \sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } ,y,}
e
− y
e
y
2
=
c h
y .
{\displaystyle \cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } ,y.}
Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:
e
i π
0
{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры
π
{\displaystyle x=\pi }
.
Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:
|
x
|
|
x
|
e
i φ
.
{\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }.}
Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:
|
x
|
e
i φ
{\displaystyle x=|x|e^{i\varphi }}
,
x
n
=
|
x
|
n
e
n i φ
.
{\displaystyle x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }.}
Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку
x
{\displaystyle x}
ў ступень
n
{\displaystyle n}
яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень
n
{\displaystyle n}
, а вугал павароту адносна восі
O X
{\displaystyle OX}
павялічваецца ў
n
{\displaystyle n}
разоў.
Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых
n
{\displaystyle n}
, але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.
Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:
R e
{
e
i x
e
i x
e
− i x
2
{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
I m
{
e
i x
e
i x
−
e
− i x
2 i
.
{\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}
Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:
e
i x
= cos x + i sin x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x;}
e
− i x
cos x − i sin x
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x;}
з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.
Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку x = iy, атрымліваем:
e
− y
e
y
2
= cosh ( y ) ,
{\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y),}
e
− y
−
e
y
2 i
= −
1 i
e
y
−
e
− y
2
= i sinh ( y ) .
{\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).}
Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:
cos x ⋅ cos y
=
(
e
i x
e
− i x
)
2
⋅
(
e
i y
e
− i y
)
2
=
1 2
⋅
e
i ( x + y )
e
i ( x − y )
e
i ( − x + y )
e
i ( − x − y )
2
=
1 2
[
e
i ( x + y )
e
− i ( x + y )
2
⏟
cos ( x + y )
e
i ( x − y )
e
− i ( x − y )
2
⏟
cos ( x − y )
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} _{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} _{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}}
Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:
cos ( n x )
=
R e
{
e
i n x
R e
{
e
i ( n − 1 ) x
⋅
e
i x
}
=
R e
{
e
i ( n − 1 ) x
⋅ (
e
i x
e
− i x
−
e
− i x
) }
=
R e
{
e
i ( n − 1 ) x
⋅
(
e
i x
e
− i x
)
⏟
2 cos ( x )
−
e
i ( n − 2 ) x
}
= cos [ ( n − 1 ) x ] ⋅ 2 cos ( x ) − cos [ ( n − 2 ) x ] .
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} _{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}
Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(nx) для цэлых значэнняў n і адвольных значэнняў x (у радыянах).
Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю
e
i x
{\displaystyle e^{ix}}
у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях
x
{\displaystyle x}
. Атрымаем:
e
i x
= 1 +
i x
1 !
( i x
)
2
2 !
( i x
)
3
3 !
(
1 −
x
2
2 !
x
4
4 !
−
x
6
6 !
…
)
i
(
x
1 !
−
x
3
3 !
x
5
5 !
−
x
7
7 !
…
)
{\displaystyle e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)}
Але
1 −
x
2
2 !
x
4
4 !
−
x
6
6 !
cos x
{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x}
x
1 !
−
x
3
3 !
x
5
5 !
−
x
7
7 !
sin x
{\displaystyle {\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x}
Таму
e
i x
= cos x + i sin x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.
Няхай камплексны лік
z
{\displaystyle z}
у трыганаметрычнай форме мае выгляд
r ( cos φ + i sin φ )
{\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
. Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем:
r
e
i φ
{\displaystyle z=re^{i\varphi }}
Гэты запіс называецца паказчыкавай формай камплекснага ліку. Гэтак жа, як і ў трыганаметрычнай форме, тут
|
z
|
{\displaystyle r=|z|}
,
arg z
{\displaystyle \varphi =\arg z}
.