wd wp Пошук: ⬜

Тэнзар напружанняў

Тэнзар напружанняў[1][2] — тэнзар другога рангу, які складаецца з дзевяці велічынь, якія прадстаўляюць механічныя напружанні ў адвольнай кропцы нагружанага цела. У дэкартавай сістэме каардынат гэтыя дзевяць велічынь запісваюцца ў выглядзе табліцы, у якой па галоўнай дыяганалі стаяць нармальныя складнікі вектараў напружанняў на трох узаемна перпендыкулярных пляцоўках, што праходзяць праз разгляданую кропку асяроддзя, а ў астатніх пазіцыях — датычныя кампаненты вектараў напружанняў на гэтых пляцоўках.

Кампаненты тэнзара напружанняў

i j

{\displaystyle \sigma _{ij}}

$\{\displaystyle \sigma _\{ij\}\}$ у дэкартавай сістэме каардынат

{\displaystyle Ox_{i}}

$\{\displaystyle Ox_\{i\}\}$ уводзяць наступным чынам. Разглядаюць бесканечна малы аб’ём цела ў выглядзе прамавугольнага паралелепіпеда, грані якога артаганальныя каардынатным восям і маюць плошчы

{\displaystyle dS_{i}}

$\{\displaystyle dS_\{i\}\}$ . На кожнай грані

{\displaystyle dS_{i}}

$\{\displaystyle dS_\{i\}\}$ паралелепіпеда дзейнічаюць паверхневыя сілы

{\displaystyle dF_{i}}

$\{\displaystyle dF_\{i\}\}$ . Калі пазначыць праекцыі гэтых сіл на восі

{\displaystyle Ox_{j}}

$\{\displaystyle Ox_\{j\}\}$ як

i j

{\displaystyle dF_{ij}}

$\{\displaystyle dF_\{ij\}\}$ , то кампанентамі тэнзара напружанняў называюць адносіну праекцый сілы да велічыні плошчы грані, на якой дзейнічае гэта сіла:

i j

{\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {dF_{ij}}{dS_{i}}}.}

$\{\displaystyle \sigma \{ij\}=\{\frac \{dF\{ij\}\}\{dS_\{i\}\}\}.\}$ Па індэксе

{\displaystyle i}

$\{\displaystyle i\}$ тут падсумоўвання няма. Кампаненты

{\displaystyle \sigma _{11}}

$\{\displaystyle \sigma _\{11\}\}$ ,

{\displaystyle \sigma _{22}}

$\{\displaystyle \sigma _\{22\}\}$ ,

{\displaystyle \sigma _{33}}

$\{\displaystyle \sigma _\{33\}\}$ , якія абазначаюцца таксама як

x x

{\displaystyle \sigma _{xx}}

$\{\displaystyle \sigma _\{xx\}\}$ ,

y y

{\displaystyle \sigma _{yy}}

$\{\displaystyle \sigma _\{yy\}\}$ ,

z z

{\displaystyle \sigma _{zz}}

$\{\displaystyle \sigma _\{zz\}\}$ , — гэта нармальныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы

{\displaystyle dF_{i}}

$\{\displaystyle dF_\{i\}\}$ на нармаль да плошчы разгляданай грані

{\displaystyle dS_{i}}

$\{\displaystyle dS_\{i\}\}$ :

{\displaystyle \sigma _{11}={\frac {dF_{11}}{dS_{1}}}.}

$\{\displaystyle \sigma \{11\}=\{\frac \{dF\{11\}\}\{dS_\{1\}\}\}.\}$ Кампаненты

{\displaystyle \sigma _{12}}

$\{\displaystyle \sigma _\{12\}\}$ ,

{\displaystyle \sigma _{23}}

$\{\displaystyle \sigma _\{23\}\}$ ,

{\displaystyle \sigma _{31}}

$\{\displaystyle \sigma _\{31\}\}$ , якія абазначаюцца таксама як

x y

{\displaystyle \tau _{xy}}

$\{\displaystyle \tau _\{xy\}\}$ ,

y z

{\displaystyle \tau _{yz}}

$\{\displaystyle \tau _\{yz\}\}$ ,

z x

{\displaystyle \tau _{zx}}

$\{\displaystyle \tau _\{zx\}\}$ , — гэта датычныя напружанні, яны ўяўляюць сабой адносіну праекцыі сілы на напрамкі, датычныя да плошчы разгляданай грані

{\displaystyle dS_{i}}

$\{\displaystyle dS_\{i\}\}$ :

{\displaystyle \sigma _{12}={\frac {dF_{12}}{dS_{1}}}.}

$\{\displaystyle \sigma \{12\}=\{\frac \{dF\{12\}\}\{dS_\{1\}\}\}.\}$ Пры адсутнасці ўласнага моманту імпульсу суцэльнага асяроддзя, а таксама аб’ёмных і паверхневых пар тэнзар напружанняў сіметрычны. Гэта вынікае з ураўнення балансу моманту імпульсу. У прыватнасці, тэнзар напружанняў сіметрычны ў класічнай тэорыі пругкасці і гідрадынаміцы ідэальнай і лінейна-глейкай вадкасцей.

Гл. таксама

Зноскі

↑ Седов Л. И. Механика сплошной среды. Том 1. М.: Наука, 1970. 492 c.
↑ Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Наука, 1975. 592 с.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Механіка суцэльных асяроддзяў
Катэгорыя·Тэнзарнае злічэнне
Катэгорыя·Супраціўленне матэрыялаў
Катэгорыя·Механіка цвёрдага дэфармуемага цела