Сіметрычная матрыца
Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу
A
{\displaystyle A}
∀ i , j :
a
i j
=
a
j i
{\displaystyle \forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}
Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:
A
A
T
{\displaystyle A=A^{T}}
Прыклады
(
a
b
c
b
d
e
c
e
f
)
,
(
1
3
0
3
2
6
0
6
5
)
,
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
,
(
1
5
5
7
)
,
(
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\b&d&e\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\3&2&6\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}
Уласцівасці
Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .
Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:
- яна мае рэчаісныя ўласныя значэнні.
- яе ўласныя вектары, адпаведныя розным уласным значэнням, артаганальныя адзін аднаму:
A v
λ
1
v , A w
λ
2
w ,
λ
1
≠
λ
2
⟹
v
T
w
0
{\displaystyle Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0}
- з яе ўласных вектараў заўсёды можна скласці ортанармальны базіс.
- матрыцу A можна прывесці да дыяганальнага выгляду:
A
Q D
Q
T
{\displaystyle A=QDQ^{T}}
Q
{\displaystyle Q}
- Калі ў сіметрычнай матрыцы A адзінае ўласнае значэнне
λ
{\displaystyle \lambda }
A
λ E
{\displaystyle A=\lambda E}
E
{\displaystyle E}
Станоўча (адмоўна) вызначаныя матрыцы
Сіметрычная матрыца
A
{\displaystyle A}
k × k
{\displaystyle k\times k}
∀ z ∈
R
k
:
z
T
A z
0
{\displaystyle \forall z\in R^{k}:z^{T}Az>0}
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.
Тэмы гэтай старонкі (1):Катэгорыя·Тыпы матрыц