У матэматыцы і статыстыцы сярэдняе арыфметычнае — адна з найбольш распаўсюджаных мер цэнтральнай тэндэнцыі(руск.) бел., якая ўяўляе сабой суму ўсіх значэнняў, якія назіраліся, падзеленую на іх колькасць.
Прапанавана (разам з сярэднім геаметрычным і сярэднім гарманічным(руск.) бел.) яшчэ піфагарэйцамі[1].
Прыватнымі выпадкамі сярэдняга арыфметычнага з’яўляюцца генеральнае сярэдняе (генеральная сукупнасці) і выбарачнае сярэдняе (выбаркі).
Пазначым мноства дадзеных X = (x1, x2, …, x**n), тады выбарачнае сярэдняе звычайна пазначаецца гарызантальнай рысай над зменнай (
x ¯
{\displaystyle {\bar {x}},}
, вымаўляецца «x з рысай»).
Для абазначэння сярэдняга арыфметычнага ўсёй сукупнасці выкарыстоўваецца грэчаская літара μ. Для выпадковай велічыні, для якой вызначана сярэдняе значэнне, μ ёсць імавернаснае сярэдняе ці матэматычнае чаканне выпадковай велічыні. Калі мноства X з’яўляецца сукупнасцю выпадковых лікаў з імавернасным сярэднім μ, тады для любой выбаркі x**i з гэтай сукупнасці μ = E{x**i} ёсць матэматычнае чаканне гэтай выбаркі.
На практыцы розніца паміж μ і
x ¯
{\displaystyle {\bar {x}},}
у тым, што μ з’яўляецца тыповай неназіранай зменнай, таму што бачыць мага хутчэй выбарку, а не ўсю генеральную сукупнасць. Таму, калі выбарку прадстаўляць выпадковым чынам (у тэрмінах тэорыі імавернасцей), тады
x ¯
{\displaystyle {\bar {x}},}
(але не μ) можна трактаваць як выпадковую зменную, якая мае размеркаванне імавернасцей на выбарцы (імавернаснае размеркаванне сярэдняга).
Абедзве гэтыя велічыні вылічаюцца адным і тым жа спосабам:
x ¯
=
1 n
∑
1
n
x
i
=
1 n
(
x
1
⋯ +
x
n
) .
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}).}
Калі X — выпадковая пераменная, тады матэматычнае чаканне X можна разглядаць як сярэдняе арыфметычнае значэнняў у паўтаральных вымярэннях велічыні X. Гэта з’яўляецца праявай закона вялікіх лікаў. Таму выбарачнае сярэдняе выкарыстоўваецца для ацэнкі невядомага матэматычнага чакання.
У элементарнай алгебры даказана, што сярэдняе n+1 лікаў больш сярэдняга n лікаў тады і толькі тады, калі новы лік больш, чым старое сярэдняе, менш тады і толькі тады, калі новы лік менш за сярэдняе, і не змяняецца тады і толькі тады, калі новы лік роўны сярэдняму. Чым больш n, тым менш адрозненне паміж новым і старым сярэднімі значэннямі.
Заўважым, што маецца некалькі іншых «сярэдніх» значэнняў, у тым ліку сярэдняй ступені, сярэдняе Калмагорава, гарманічнае сярэдняе, арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе і розныя сярэдне-ўзважаныя велічыні.
x
1
x
2
x
3
3
.
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.}
x
1
x
2
x
3
x
4
4
.
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.}
Для непарыўна размеркаванай велічыні
f ( x )
{\displaystyle f(x)}
сярэдняе арыфметычнае на адрэзку
[ a ; b ]
{\displaystyle [a;b]}
вызначаецца праз вызначаны інтэграл:
f ( x )
¯
[ a ; b ]
=
1
b − a
∫
a
b
f ( x ) d x
{\displaystyle {\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx}