wd wp Пошук: ⬜

Срыніваса Рамануджан

У гэтага чалавека тамільскае імя без прозвішча. Рамануджан — імя, Срыніваса — імя па бацьку, Аенгор — каста.

Срыніва́са Рамануджа́н Аенго́р (вымаўл. (i); там.: ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்; англ.: Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) (22 снежня 1887 — 26 красавіка 1920) — індыйскі матэматык.

Не маючы спецыяльнай матэматычнай адукацыі, атрымаў выдатныя вынікі ў галіне тэорыі лікаў. Найбольш значная яго праца сумесна з Г. Хардзі па асімптотыцы ліку разбіццяў

p ( n )

{\displaystyle p(n)}

$\{\displaystyle p(n)\}$ .

Біяграфія

Дом Рамануджана на вуліцы Сарангапані ў горадзе Кумбаконам

Рамануджан Срыніваса нарадзіўся 22 снежня 1887 г. на поўдні Індыі. Бацька працаваў бухгалтарам у невялікай тэкстыльнай краме ў горадзе Кумбаканаме Танджорскага раёна Мадраскай правінцыі. Маці была глыбока рэлігійная. Рамануджан выхоўваўся ў строгіх традыцыях замкнёнай касты брахманаў. Ужо ў школе праявіліся яго выдатныя здольнасці да матэматыкі, і знаёмы студэнт з горада Мадраса даў яму кнігі па трыганаметрыі. У 14 гадоў Рамануджан адкрыў формулу Эйлера аб сінусе і косінусе і быў вельмі засмучаны, даведаўшыся, што яна ўжо апублікавана. У 16 гадоў у яго рукі трапіла двухтомнае сачыненне матэматыка Шубрыджа Кара «Зборнік элементарных вынікаў чыстай і прыкладной матэматыкі», напісанае амаль за чвэрць стагоддзя да гэтага (пасля, дзякуючы сувязі з іменем Рамануджана, гэтая кніга была падвергнута грунтоўнаму аналізу). У ім было змешчана 6165 тэарэм і формул, практычна без доказаў і тлумачэнняў. Юнак, які не меў ні доступу ў ВНУ, ні зносін з матэматыкамі, пагрузіўся ў зносіны з гэтым зборам формул. Такім чынам, у яго склаўся пэўны спосаб мыслення, своеасаблівы стыль доказаў. У гэты перыяд і вызначыўся матэматычны лёс Рамануджана.

У 1913 году вядомы прафесар Кембрыджскага ўніверсітэта Г. Хардзі атрымаў дзіўны ліст. Адпраўшчык (а гэта быў Рамануджан) паведамляў, што ён не заканчваў універсітэта, а пасля сярэдняй школы займаецца матэматыкай самастойна. Да пісьма былі прыкладзеныя формулы, аўтар прасіў іх апублікаваць, калі яны цікавыя, бо сам ён бедны і не мае для публікацыі дастатковых сродкаў. Паміж Кембрыджскім прафесарам і індыйскім клеркам завязалася ажыўленая перапіска, у выніку якой у Хардзі назапашваецца каля 120 формул, невядомых навуцы. Па патрабаванні Г. Хардзі ў 27-гадовым узросце Рамануджан пераязджае ў Кембрыдж. Там ён становіцца прафесарам універсітэта, яго выбіраюць у Лонданскае каралеўскае таварыства. Друкаваныя працы з яго формуламі выходзяць адна за адной, выклікаючы здзіўленне, а часам і разгубленасць калег.

У фарміраванні матэматычнага свету Рамануджана пачатковы запас матэматычных фактаў аб’яднаўся з велізарным запасам назіранняў над канкрэтнымі лікамі. Ён калекцыяніраваў такія факты з дзяцінства. Ён валодаў дзіўнай здольнасцю падмячаць велізарны лікавы матэрыял. Па словах Хардзі, «кожны натуральны лік быў асабістым другам Рамануджана». Многія матэматыкі яго часу лічылі Рамануджана проста экзатычнай з’явай, і што ён спазніўся нарадзіцца на 100 гадоў. Не перастаюць здзіўляцца праніклівасці індыйскага генія і матэматыкі нашага часу.

Навуковыя інтарэсы і вынікі

Сфера яго матэматычных інтарэсаў была вельмі шырокая. Гэта магічныя квадраты, квадратура круга, бесканечныя рады, гладкія лікі, разбіцці лікаў, гіпергеаметрычныя функцыі, спецыяльныя сумы і функцыі, якія цяпер носяць яго імя, вызначаныя інтэгралы, эліптычныя і мадулярныя функцыі.

Ён знайшоў некалькі асобных рашэнняў ураўнення Эйлера (гл. Задача аб чатырох кубах), сфармуляваў каля 120 тэарэм (у асноўным у выглядзе выключна складаных тоеснасцей). Сучаснымі матэматыкамі Рамануджан лічыцца найбуйнейшым знаўцам ланцуговых дробаў у свеце. Адным з самых выдатных вынікаў Рамануджана ў гэтай галіне з’яўляецца формула, у адпаведнасці з якой сума простага лікавага рада з ланцуговым дробам у дакладнасці роўная выразу, у якім прысутнічае здабытак

{\displaystyle e}

$\{\displaystyle e\}$ на

{\displaystyle \pi }

$\{\displaystyle \pi \}$ :

1 +

1 ⋅ 3

1 ⋅ 3 ⋅ 5

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9

… +

1 +

1 + …

e ⋅ π

{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}.}

$\{\displaystyle 1+\{\frac \{1\}\{1\cdot 3\}\}+\{\frac \{1\}\{1\cdot 3\cdot 5\}\}+\{\frac \{1\}\{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\}\}+\{\frac \{1\}\{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\}\}+\ldots +\{\frac \{1\}\{1+\displaystyle \{\frac \{1\}\{1+\displaystyle \{\frac \{2\}\{1+\displaystyle \{\frac \{3\}\{1+\displaystyle \{\frac \{4\}\{1+\displaystyle \{\frac \{5\}\{1+\ldots \}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}=\{\sqrt \{\frac \{e\cdot \pi \}\{2\}\}\}.\}$ Матэматыкам добра вядома формула вылічэння [ліку

{\displaystyle \pi }

$\{\displaystyle \pi \}$ ](/Пі,_лік “Пі, лік”), атрыманая Рамануджанам ў 1910 шляхам раскладання арктангенса ў рад Тэйлара:

π

9801

∑

k

∞

( 4 k ) !

( k !

)

[ 1103 + 26390 k ]

( 4 × 99

)

4 k

{\displaystyle \pi ={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {(4k)!}{(k!)^{4}}}\times \displaystyle {\frac {[1103+26390k]}{(4\times 99)^{4k}}}}}.}

$\{\displaystyle \pi =\{\frac \{9801\}\{2\{\sqrt \{2\}\}\sum \limits _\{k=0\}^\{\infty \}\displaystyle \{\frac \{(4k)!\}\{(k!)^\{4\}\}\}\times \displaystyle \{\frac \{[1103+26390k]\}\{(4\times 99)^\{4k\}\}\}\}\}.\}$ Ужо пры k = 100 дасягаецца велізарная дакладнасць — шэсцьсот верных значных лічбаў!

Прыклады бесканечнай сумы, знойдзенай Рамануджанам:

1 − 5

(

1 2

)

(

1 × 3

2 × 4

)

− 13

(

1 × 3 × 5

2 × 4 × 6

)

…

2 π

{\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\pi }}.}

$\{\displaystyle 1-5\left(\{\frac \{1\}\{2\}\}\right)^\{3\}+9\left(\{\frac \{1\times 3\}\{2\times 4\}\}\right)^\{3\}-13\left(\{\frac \{1\times 3\times 5\}\{2\times 4\times 6\}\}\right)^\{3\}+\ldots =\{\frac \{2\}\{\pi \}\}.\}$

1 + 9

(

1 4

)

(

1 × 5

4 × 8

)

(

1 × 5 × 9

4 × 8 × 12

)

⋯

3 2

1 2

(

3 4

)

{\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}

$\{\displaystyle 1+9\left(\{\frac \{1\}\{4\}\}\right)^\{4\}+17\left(\{\frac \{1\times 5\}\{4\times 8\}\}\right)^\{4\}+25\left(\{\frac \{1\times 5\times 9\}\{4\times 8\times 12\}\}\right)^\{4\}+\cdots =\{\frac \{2^\{\frac \{3\}\{2\}\}\}\{\pi ^\{\frac \{1\}\{2\}\}\Gamma ^\{2\}\left(\{\frac \{3\}\{4\}\}\right)\}\}.\}$ Гэтая незвычайная формула — адна з прапанаваных ім у першым пісьме да Хардзі. Доказ гэтай роўнасці неэлементарны.

Іншыя формулы Рамануджана не менш прыгожыя:

1 + 2

1 + 3

1 + 4

1 + …

= 3.

{\displaystyle {\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+4{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}=3.}

$\{\displaystyle \{\sqrt \{1+2\{\sqrt \{1+3\{\sqrt \{1+4\{\sqrt \{1+\ldots \}\}\}\}\}\}\}\}=3.\}$

{\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},,}

$\{\displaystyle x^\{3\}+y^\{3\}+z^\{3\}=w^\{3\}\,\,\}$ , дзе

x

5 a b − 5

{\displaystyle x=3a^{2}+5ab-5b^{2},,}

$\{\displaystyle x=3a^\{2\}+5ab-5b^\{2\}\,\,\}$

y

− 5 a b − 3

{\displaystyle y=5a^{2}-5ab-3b^{2},,}

$\{\displaystyle y=5a^\{2\}-5ab-3b^\{2\}\,\,\}$

z

− 4 a b + 6

{\displaystyle z=4a^{2}-4ab+6b^{2},,}

$\{\displaystyle z=4a^\{2\}-4ab+6b^\{2\}\,\,\}$

w

− 4 a b + 4

{\displaystyle w=6a^{2}-4ab+4b^{2},,}

$\{\displaystyle w=6a^\{2\}-4ab+4b^\{2\}\,\,\}$ Прызнанне і ацэнкі

Хардзі дасціпна пракаменціраваў вынікі, паведамленыя яму Рамануджанам: «Яны павінны быць праўдзівымі, бо калі б яны не былі праўдзівымі, то ні ў каго не хапіла б ўяўлення, каб вынайсці іх». Яго формулы часам усплываюць у самых сучасных раздзелах навукі, пра якія ў яго час ніхто нават не здагадваўся.

Сам Рамануджан гаварыў, што формулы яму ў сне падказвае багіня Намагіры Тхайяр (англ.: Namagiri Thayar) (Махалакшмі) (хіндзі: नामगिरी), якой пакланяюцца ў Намакале (там.: நாமக்கல்).

Каб захаваць спадчыну гэтага дзіўнага, ні на каго не падобнага матэматыка, была выдадзена кніга з фотакопіямі яго чарнавікоў.

Навука нічога не выйграла ад таго, што Кумбаканамскі каледж адхіліў адзінага вялікага навукоўца, якога ён меў, і страта была невымернай. Лёс Рамануджана - найгоршы вядомы мне прыклад шкоды, якую можа нанесці малаэфектыўная і нягнуткая сістэма адукацыі. Патрабавалася так мала, усяго 60 фунтаў стэрлінгаў у год на працягу 5 гадоў і эпізадычных зносін з людзьмі, якія мелі сапраўдныя веды і трохі ўяўлення, а свет атрымаў бы яшчэ аднаго з найвялікшых сваіх матэматыкаў…

Г. Х. Хардзі

Паняцці, звязаныя з іменем Рамануджана

Іменем Рамануджана названыя:

Зноскі

1 2 MacTutor History of Mathematics archive Праверана 22 жніўня 2017.
1 2 Srinivasa Ramanujan // SNAC — 2010. Праверана 9 кастрычніка 2017.
↑ Srinivasa Ramanujan Biography // biography.com Праверана 24 лютага 2018.
1 2 3 4 5 6 MacTutor History of Mathematics archive
1 2 Матэматычная генеалогія — 1997.

Літаратура

С. Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. — Издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-83-9.
Г. Харди. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
С. Г. Гиндикин Загадка Рамануджана // Квант. — 1987. — № 10. — С. 14.
Р. Аски С. Рамануджан. Гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды // УМН. — 1990. — Т. 45. — № 1(271). — С. 33–76.
Дж. Борвейн, П. Борвейн Рамануджан и число π // В мире науки. — 1988. — № 4.
В. И. Левин. Рамануджан — математический гений Индии. — М.: Знание, 1968. (альтернативная ссылка Архівавана 24 кастрычніка 2007.)
В. И. Левин Жизнь и творчество индийского математика С. Рамануджана // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — Т. XIII.
Дж. І. Літлвуд. Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — ISBN 5-02-014332-4.

Спасылкі

Список литературы о Рамануджане в рунете