wd wp Пошук: ⬜

Падгрупа

Падгрупа ― падмноства

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , якое само з’яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ .

Падмноства

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ з’яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ змяшчае адзінкавы элемент з

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$

змяшчае здабытак любых двух элементаў з

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ ,

змяшчае разам з усякім сваім элементам

{\displaystyle h}

$\{\displaystyle h\}$ адваротны да яго элемент

− 1

{\displaystyle h^{-1}}

$\{\displaystyle h^\{-1\}\}$ .

У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з’яўляецца залішняй.

Прыклады

Падмноства групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ .

Сама

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ таксама з’яўляецца сваёй падгрупай.

Звязаныя азначэнні

Усякая падгрупа, якая адрозніваецца ад усёй групы, называецца сапраўднай падгрупай гэтай групы. Сапраўдная падгрупа некаторай бясконцай групы можа быць ізаморфнай самой групе.
Сама група

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , усе астатнія ― уласнымі.

Перасячэнне ўсіх падгруп групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ , называецца *падгрупай, спароджанай мноствам

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ *, і абазначаецца

< M

{\displaystyle }

$\{\displaystyle \}$ .

Калі

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ складаецца з аднаго элемента

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ , то

< a

{\displaystyle }

$\{\displaystyle \}$ называецца *цыклічнай падгрупай элемента

{\displaystyle a}

$\{\displaystyle a\}$ *. + Група, якая супадае з адной з сваіх цыклічных падгруп, называецца цыклічнай групай.

Калі група

{\displaystyle G_{1}}

$\{\displaystyle G_\{1\}\}$ ізаморфная некаторай падгрупе

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , то кажуць, што група

{\displaystyle G_{1}}

$\{\displaystyle G_\{1\}\}$ можа быць ўкладзена ў групу

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ .

Уласцівасці

Непустое мноства

H ⊂ G

{\displaystyle H\subset G}

$\{\displaystyle H\subset G\}$ з’яўляецца падгрупай групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ тады і толькі тады, калі для любых

a , b ∈ H

{\displaystyle a,b\in H}

$\{\displaystyle a,b\in H\}$ выконваецца

− 1

∈ H .

{\displaystyle ab^{-1}\in H.}

$\{\displaystyle ab^\{-1\}\in H.\}$

Тэарэтыка-множнае перасячэнне любых двух (і любога мноства) падгруп групы

{\displaystyle G_{1}}

$\{\displaystyle G_\{1\}\}$ з’яўляецца падгрупай групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ .

Тэарэтыка-множнае аб’яднанне падгруп, наогул кажучы, не абавязана з’яўляцца падгрупай. Аб’яднаннем падгруп

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ і

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ называецца падгрупа, спароджаная аб’яднаннем мностваў

H ∪ K

{\displaystyle H\cup K}

$\{\displaystyle H\cup K\}$ .

Гамаморфны вобраз падгруп ― падгрупа.
Калі дадзеныя дзве групы і кожная з іх ізаморфная некаторай сапраўднай падгрупе іншай, то адсюль яшчэ не вынікае ізамарфізм саміх гэтых груп.

Гл. таксама

Літаратура

Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — м: Наука, 1967. — 648 с.
Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — м: МЗ Пресс, 2007. — С. 24-25. — 224 с.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя груп