wd wp Пошук: ⬜

Нармальная падгрупа

Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.

Азначэнні

Падгрупа

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ з

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ і любога

{\displaystyle g}

$\{\displaystyle g\}$ з

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , элемент

g n

− 1

{\displaystyle gng^{-1}}

$\{\displaystyle gng^\{-1\}\}$ ляжыць у

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ :

N ◃ G

⟺

∀

n ∈ N , ∀ g ∈ G

{\displaystyle N\triangleleft G,\iff ,\forall ,n\in N,\forall \ g\in G,}

$\{\displaystyle N\triangleleft G\,\iff \,\forall \,n\in N,\forall \ g\in G\,\}$

g n

− 1

∈

{\displaystyle gng^{-1}\in {N}}

$\{\displaystyle gng^\{-1\}\in \{N\}\}$ Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:

Для любога

{\displaystyle g}

$\{\displaystyle g\}$ з

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ ,

g N

− 1

⊆ N

{\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}

$\{\displaystyle gNg^\{-1\}\subseteq N\}$ . 2. Для любога

{\displaystyle g}

$\{\displaystyle g\}$ з

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ ,

g N

− 1

= N

{\displaystyle gNg^{-1}=N}

$\{\displaystyle gNg^\{-1\}=N\}$ . 3. Мноствы левых і правых сумежных класаў

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ у

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ супадаюць. 4. Для любога

{\displaystyle g}

$\{\displaystyle g\}$ из

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ ,

g N

N g

{\displaystyle gN=Ng}

$\{\displaystyle gN=Ng\}$ . 5. N

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ ізаморфныя аб’яднанню класаў спалучаных элементаў.

Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.

Прыклады

{ e }

{\displaystyle \{e\}}

$\{\displaystyle \\{e\\}\}$ і

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ — заўсёды нармальныя падгрупы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ . Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ называецца простай.

Цэнтр групы — нармальная падгрупа.
Камутант групы — нармальная падгрупа .
Любая характарыстычная падгрупа нармальная, так як спалучэнне — гэта заўсёды аўтамарфізм.
Усе падгрупы

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ абелевай групы G нармальныя, так як

g N

N g

{\displaystyle gN=Ng}

$\{\displaystyle gN=Ng\}$ . Неабелева група, у якой любая падгрупа нармальная, называецца гамільтанавай.

Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху.
У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.

Уласцівасці

Нармальнасць захоўваецца пры сюр’ектыўных гомамарфізмах і узяцці зваротных вобразаў.
Ядро гомамарфізму — нармальная падгрупа.
Нармальнасць захоўваецца пры пабудове прамога здабытку.
Нармальная падгрупа нармальнай падгрупы не абавязаная быць нармальнай у групе, г. зн. нармальнасць не транзітыўная. Аднак характарыстычная падгрупа нармальнай падгрупы нармальная.
Кожная падгрупа індэкса 2 нармальная. Калі

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ — найменшы просты дзельнік парадку

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , то любая падгрупа індэкса

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ нармальная.

Калі

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ — нармальная падгрупа ў

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ , то на мностве левых (правых) сумежных класаў

{\displaystyle G/N}

$\{\displaystyle G/N\}$ можна ўвесці групавую структуру па правілу

(

N ) (

N )

(

) N

{\displaystyle (g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N}

$\{\displaystyle (g_\{1\}N)(g_\{2\}N)=(g_\{1\}g_\{2\})N\}$ Атрыманае мноства называецца фактаргрупай

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ па

{\displaystyle N}

$\{\displaystyle N\}$ .

N нармальная тады і толькі тады, калі яна трывіяльна дзейнічае на левых сумежных класах

{\displaystyle G/N}

$\{\displaystyle G/N\}$ .

Гістарычныя факты

Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.

Гл. таксама

Спасылкі

Винберг Э. Б. Курс алгебры — м:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — м: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя груп