wd wp Пошук: ⬜

Фактаргрупа

Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.

Фактаргрупа групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ па нармальнай падгрупе

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ звычайна абазначаецца

{\displaystyle G/H}

$\{\displaystyle G/H\}$ .

Вызначэнне

Няхай

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ — група, і

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ у

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$

a H

{

a h ∣

h ∈ H }

{\displaystyle aH=\{,ah\mid ,h\in H\}}

$\{\displaystyle aH=\\{\,ah\mid \,h\in H\\}\}$ можна ўвесці множанне:

( a H ) ( b H )

a b H

{\displaystyle (aH)(bH)=abH}

$\{\displaystyle (aH)(bH)=abH\}$ Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі

a H

a ′

{\displaystyle aH=a’H}

$\{\displaystyle aH=a’H\}$ і

b H

b ′

{\displaystyle bH=b’H}

$\{\displaystyle bH=b’H\}$ , то

a b H

a ′

b ′

{\displaystyle abH=a’b’H}

$\{\displaystyle abH=a’b’H\}$ . Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група

{\displaystyle G/H}

$\{\displaystyle G/H\}$ называецца фактаргрупай

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ па

{\displaystyle H}

$\{\displaystyle H\}$ .

Уласцівасці

Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма

φ : G → K

{\displaystyle \varphi :G\to K}

$\{\displaystyle \varphi :G\to K\}$

K e r

φ ≅ φ ( G )

{\displaystyle G/\mathrm {Ker} ,\varphi \cong \varphi (G)}

$\{\displaystyle G/\mathrm \{Ker\} \,\varphi \cong \varphi (G)\}$ , г. зн. фактаргрупа

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ па ядру

K e r

{\displaystyle \mathrm {Ker} ,\varphi }

$\{\displaystyle \mathrm \{Ker\} \,\varphi \}$ ізаморфна яе вобразу

φ ( G )

{\displaystyle \varphi (G)}

$\{\displaystyle \varphi (G)\}$ у

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ .

Адлюстраванне

a ↦ a H

{\displaystyle a\mapsto aH}

$\{\displaystyle a\mapsto aH\}$ задае натуральны гомамарфізм

G → G

{\displaystyle G\to G/H}

$\{\displaystyle G\to G/H\}$ .

Парадак

{\displaystyle G/H}

$\{\displaystyle G/H\}$ роўны індэксу падгрупы

[ G : H ]

{\displaystyle [G:H]}

$\{\displaystyle [G:H]\}$ . У выпадку канечнай групы

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ ён роўны

{\displaystyle |G|/|H|}

$\{\displaystyle |G|/|H|\}$ .

Калі

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ абелева, нільпатэнтная, вырашальная, цыклічная або канечнаспароджаная, то і

{\displaystyle G/H}

$\{\displaystyle G/H\}$ будзе мець тыя жа ўласцівасці.

{\displaystyle G/G}

$\{\displaystyle G/G\}$ ізаморфная трывіяльнай групе (

{ e }

{\displaystyle \{e\}}

$\{\displaystyle \\{e\\}\}$ ),

{\displaystyle G/{e}}

$\{\displaystyle G/\{e\}\}$ ізаморфная

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ .

Прыклады

Няхай

G

{\displaystyle G=\mathbb {Z} }

$\{\displaystyle G=\mathbb \{Z\} \}$ ,

H

{\displaystyle H=2\mathbb {Z} }

$\{\displaystyle H=2\mathbb \{Z\} \}$ , тады

{\displaystyle G/H}

$\{\displaystyle G/H\}$ ізаморфная

{\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} _\{2\}\}$ .

Няхай

G

U T

{\displaystyle G=\mathbf {UT} _{n}}

$\{\displaystyle G=\mathbf \{UT\} _\{n\}\}$ (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц),

H

S U T

{\displaystyle H=\mathbf {SUT} _{n}}

$\{\displaystyle H=\mathbf \{SUT\} _\{n\}\}$ (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады

{\displaystyle G/H}

$\{\displaystyle G/H\}$ ізоморфна групе дыяганальных матрыц.

Літаратура

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — м: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя груп