У алгебры, цыклічная група - гэта група , генерыраваная праз адзін элемент. Гэта значыць, што яна складаецца з мноства элементаў з абарачальнай асацыятыўнай аперацыяй і змяшчае элемент такі, што кожны элемент групы можа быць атрыманы шляхам шматразовага прымянення аперацыі групы або яе адваротнай да g. Кожны элемент групы можа быць запісаны як ступень g у мультыплікатыўнай натацыі, або як кратнасць g у адытыўнай натацыі. Элемент g называецца генератарам групы.
Усе бясконцыя цыклічныя групы ізаморфныя да адытыўнай групы Z, цэлых лікаў. Кожная канечная цыклічная група парадку n ізаморфная да адытыўнай групы Z/nZ, цэлых лікаў па модулю n. Кожная цыклічная група з’яўляецца абелевай групай (гэта азначае, што яе групавая аперацыя з’яўляецца камутатыўнай).
Група G называецца цыклічнай, калі існуе элемент g з G такі, што G = ⟨g⟩ = { g**n | n гэта цэлы лік }. Паколькі любая група, генерыраваная элементам з групы з’яўляецца падгрупай гэтай групы, то паказаць, што адзіная падгрупа групы G , якая змяшчае g - гэта само *G,*хопіць, каб даказаць, што G з’яўляецца цыклічнай.
Напрыклад, калі G = { g0, g1, g2, g3, g4, g5 }- група парадку 6, то g6 = g0, і G з’яўляецца цыклічнай. Па сутнасці, G - гэта тая самая група (гэта значыць ізаморфная) што і мноства { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } з аперацыяй складання па модулю 6. Напрыклад, 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) адпавядае g1 · g2 = g3, і 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) адпавядае g2 · g5 = g7 = g1, і гэтак далей. Можна выкарыстоўваць ізамарфізм χ азначаны як χ(g**i) = i.
Мноства цэлых лікаў, з аперацыяй складання стварае групу. Яна з’яўляецца бясконцай цыклічнай групай, таму што ўсе цэлыя лікі могуць быць запісаныя як канечная сума або рознасць копій лічбы 1. У гэтай групе, 1 і -1 з’яўляюцца адзінымі генератарамі. Кожная бясконцая цыклічная група ізаморфная гэтай групе.
Для кожнага дадатнага цэлага ліку n, мноства цэлых лікаў па модулю n, зноў з аперацыяй складання, стварае канечную цыклічную групу, групу Z/(n). Элемент g гэта генератар гэтай групы, калі g узаемна просты з n (таму што гэтыя элементы змогуць стварыць усе астатнія элементы групы праз цэлалікавае множанне). Такім чынам, колькасць розных генератараў роўна φ(n), дзе φ гэта функцыя Эйлера, функцыя, якая падлічвае колькасць лікаў па модулю n, ўзаемна простых з n. Кожная канечная цыклічная група ізаморфная групе Z /(n), дзе n - парадак групы.