wd wp Пошук: ⬜

Няроўнасць трохвугольніка

Няро́ўнасць тро́хвуго́льніка ў геаметрыі, функцыянальным аналізе і сумежных дысцыплінах — адна з інтуітыўных уласцівасцей адлегласці. Яна сцвярджае, што даўжыня любой стараны трохвугольніка заўсёды не перавышае сумы даўжынь яго іншых старон. Няроўнасць трохвугольніка ўключаецца як аксіёма ў азначэнне метрычнай прасторы, нормы і г.д.; таксама, часта з’яўляецца тэарэмаю ў розных тэорыях.

Еўклідава геаметрыя

Даўжыня любой стараны трохвугольніка не перавышае сумы даўжынь дзвюх астатніх.

Няхай ёсць трохвугольнік

Δ A B C .

{\displaystyle \Delta ABC.}

$\{\displaystyle \Delta ABC.\}$ Тады

|

A C

|

⩽

|

A B

|

|

B C

|

,

{\displaystyle |AC|\leqslant |AB|+|BC|,}

$\{\displaystyle |AC|\leqslant |AB|+|BC|,\}$ прычым роўнасць

|

A C

|

=

|

A B

|

|

B C

|

{\displaystyle |AC|=|AB|+|BC|}

$\{\displaystyle |AC|=|AB|+|BC|\}$ дасягаецца толькі тады, калі трохвугольнік выраджаны, і пункт

B

{\displaystyle B}

$\{\displaystyle B\}$ ляжыць строга паміж

A

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ і

C

{\displaystyle C}

$\{\displaystyle C\}$ .

Еўклід у Пачатках даказвае няроўнасць трохвугольніка наступным чынам. Спачатку даказваецца тэарэма, што знешні вугал трохвугольніка большы за ўнутраны вугал, з ім не сумежны. З яе выводзіцца тэарэма аб тым, што насупраць большай стараны трохвугольніка ляжыць большы ўнутраны вугал. Далей, метадам ад процілеглага даказваецца тэарэма аб тым, што насупраць большага ўнутранага вугла трохвугольніка ляжыць большая старана. А з гэтай тэарэмы выводзіцца няроўнасць трохвугольніка.

Нармаваная прастора

Няхай

( X , ‖ ⋅ ‖ )

{\displaystyle (X,|\cdot |)}

$\{\displaystyle (X,\|\cdot \|)\}$ — нармаваная вектарная прастора, дзе

X

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ — адвольнае мноства, а

‖ ⋅ ‖

{\displaystyle |\cdot |}

$\{\displaystyle \|\cdot \|\}$ — вызначаная на

X

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ норма. Тады па азначэнню апошняй справядліва:

‖ x + y ‖ ⩽ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ,

∀ x , y ∈ X .

{\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|,\quad \forall x,y\in X.}

$\{\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|,\quad \forall x,y\in X.\}$

Гільбертава прастора

У гільбертавай прасторы, няроўнасць трохвугольніка з’яўляецца вынікам няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Метрычная прастора

Няхай

( X , ρ )

{\displaystyle (X,\rho )}

$\{\displaystyle (X,\rho )\}$ — метрычная прастора, дзе

X

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ — адвольнае мноства, а

ρ

{\displaystyle \rho }

$\{\displaystyle \rho \}$ — вызначаная на

X

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ метрыка. Тады па азначэнню апошняй

ρ ( x , y ) ⩽ ρ ( x , z ) + ρ ( z , y ) ,

x , y , z ∈ X .

{\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.}

$\{\displaystyle \rho (x,y)\leqslant \rho (x,z)+\rho (z,y),\quad x,y,z\in X.\}$ Варыяцыі і абагульненні

Моцная няроўнасць трохвугольніка

d ( x , z ) ⩽ max ( d ( x , y ) , d ( y , z ) )

{\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))}

$\{\displaystyle d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))\}$

Адваротная няроўнасць трохвугольніка

Вынікам няроўнасці трохвугольніка ў нармаванай і метрычнай прасторах з’яўляюцца наступныя няроўнасці:

|

‖ x ‖ − ‖ y ‖

|

⩽ ‖ x − y ‖ ,

x , y ∈ X ;

{\displaystyle {\bigl |}|x|-|y|{\bigr |}\leqslant |x-y|,\quad x,y\in X;}

$\{\displaystyle \{\bigl |\}\|x\|-\|y\|\{\bigr |\}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;\}$

|

ρ ( x , y ) − ρ ( x , z )

|

⩽ ρ ( y , z ) ,

x , y , z ∈ X .

{\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}

$\{\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.\}$

Няроўнасць трохвугольніка для трохграннага вугла

Гл. таксама: Сферычная геаметрыя Кожны плоскі вугал выпуклага трохграннага вугла меншы за суму двух другіх яго плоскіх вуглоў.

Тэмы гэтай старонкі (5):
Катэгорыя·Метрычная геаметрыя
Катэгорыя·Лінейная алгебра
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Еўклідава геаметрыя
Катэгорыя·Няроўнасці