Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.
Падгрупа
N
{\displaystyle N}
групы
G
{\displaystyle G}
называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента
n
{\displaystyle n}
з
N
{\displaystyle N}
і любога
g
{\displaystyle g}
з
G
{\displaystyle G}
, элемент
g n
g
− 1
{\displaystyle gng^{-1}}
ляжыць у
N
{\displaystyle N}
:
N ◃ G
⟺
∀
n ∈ N , ∀ g ∈ G
{\displaystyle N\triangleleft G,\iff ,\forall ,n\in N,\forall \ g\in G,}
g n
g
− 1
∈
N
{\displaystyle gng^{-1}\in {N}}
Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:
g
{\displaystyle g}
з
G
{\displaystyle G}
,
g N
g
− 1
⊆ N
{\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}
.
2. Для любога
g
{\displaystyle g}
з
G
{\displaystyle G}
,
g N
g
− 1
= N
{\displaystyle gNg^{-1}=N}
.
3. Мноствы левых і правых сумежных класаў
N
{\displaystyle N}
у
G
{\displaystyle G}
супадаюць.
4. Для любога
g
{\displaystyle g}
из
G
{\displaystyle G}
,
N g
{\displaystyle gN=Ng}
.
5. N
{\displaystyle N}
ізаморфныя аб’яднанню класаў спалучаных элементаў.
Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.
{\displaystyle \{e\}}
і
G
{\displaystyle G}
— заўсёды нармальныя падгрупы
G
{\displaystyle G}
. Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група
G
{\displaystyle G}
называецца простай.
Цэнтр групы — нармальная падгрупа.
Камутант групы — нармальная падгрупа .
Любая характарыстычная падгрупа нармальная, так як спалучэнне — гэта заўсёды аўтамарфізм.
Усе падгрупы
N
{\displaystyle N}
абелевай групы G нармальныя, так як
N g
{\displaystyle gN=Ng}
. Неабелева група, у якой любая падгрупа нармальная, называецца гамільтанавай.
Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху.
У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.
p
{\displaystyle p}
— найменшы просты дзельнік парадку
G
{\displaystyle G}
, то любая падгрупа індэкса
p
{\displaystyle p}
нармальная.
N
{\displaystyle N}
— нармальная падгрупа ў
G
{\displaystyle G}
, то на мностве левых (правых) сумежных класаў
G
/
N
{\displaystyle G/N}
можна ўвесці групавую структуру па правілу
(
g
1
N ) (
g
2
(
g
1
g
2
) N
{\displaystyle (g_{1}N)(g_{2}N)=(g_{1}g_{2})N}
Атрыманае мноства называецца фактаргрупай
G
{\displaystyle G}
па
N
{\displaystyle N}
.
G
/
N
{\displaystyle G/N}
.
Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.