wd wp Пошук: ⬜

Абелева група

А́белева гру́па (або камутатыўная група) — група, у якой групавая аперацыя

∘

{\displaystyle \circ }

$\{\displaystyle \circ \}$ падпарадкоўваецца яшчэ і перамяшчальнаму закону, г.зн. для любых элементаў a і b гэтай групы справядліва тоеснасць

a ∘ b

b ∘ a .

{\displaystyle a\circ b=b\circ a.}

$\{\displaystyle a\circ b=b\circ a.\}$ Часта аперацыю, для якой справядлівы перамяшчальны закон, называюць камутатыўнай.

Абелевы групы названы так у гонар нарвежскага матэматыка Нільса Абеля.

Звычайна групавую аперацыю ў абелевых групах пазначаюць знакам «

{\displaystyle +}

$\{\displaystyle +\}$ » (хоць групавая аперацыя можа не мець ніякага дачынення да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент абелевай групы называюць нулём і абазначаюць як 0; адваротны элемент называюць процілеглым і абазначаюць процілегласць з дапамогай знака «

−

{\displaystyle -}

$\{\displaystyle -\}$ » на ўзор «

− a

{\displaystyle -a}

$\{\displaystyle -a\}$ ».

Строгае азначэнне

Аксіёмы абелевай групы

А́белевай гру́пай называецца непустое мноства G разам з бінарнай аперацыяй

∘ : G × G → G ,

{\displaystyle \circ :G\times G\to G,}

$\{\displaystyle \circ :G\times G\to G,\}$ якая задавальняе наступныя ўмовы:

Перамяшчальны закон (камутатыўнасць): для любых

a , b ∈ G

{\displaystyle a,b\in G}

$\{\displaystyle a,b\in G\}$ справядліва:

a ∘ b

b ∘ a

{\displaystyle a\circ b=b\circ a}

$\{\displaystyle a\circ b=b\circ a\}$ 2. Спалучальны закон (асацыятыўнасць): для любых

a , b , c ∈ G

{\displaystyle a,b,c\in G}

$\{\displaystyle a,b,c\in G\}$ справядліва:

a ∘ ( b ∘ c )

( a ∘ b ) ∘ c

{\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}

$\{\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c\}$ 3. Існуе нейтральны элемент

e ∈ G ,

{\displaystyle e\in G,}

$\{\displaystyle e\in G,\}$ г.зн. такі элемент, што для любога

a ∈ G

{\displaystyle a\in G}

$\{\displaystyle a\in G\}$ справядліва:

a ∘ e

e ∘ a

{\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}

$\{\displaystyle a\circ e=e\circ a=a\}$ 4. Для кожнага элемента

a ∈ G

{\displaystyle a\in G}

$\{\displaystyle a\in G\}$ існуе адваротны элемент

− 1

∈ G ,

{\displaystyle a^{-1}\in G,}

$\{\displaystyle a^\{-1\}\in G,\}$ г.зн. такі элемент, што

a ∘

− 1

∘ a

{\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}

$\{\displaystyle a\circ a^\{-1\}=a^\{-1\}\circ a=e\}$

Прыклады

Для цэлых лікаў і аперацыі складання “+”, абазначаных (Z, +), аперацыя + камбінуе два цэлых лікі каб стварыць трэці, складанне асацыятыўнае, нейтральным элементам з’яўляецца нуль, кожны цэлы лік n мае адваротны элемент -n, а складанне камутатыўнае, таму што m + n = n + m для давольных цэлых лікаў m і n.
Кожная цыклічная група з’явўляецца абелевай, таму што калі x, y належаць да G, то xy = ama**n = a**m + n = a**n + m = ana**m = yx. Такім чынам цэлыя лікі Z ствараюць абелеву групу з аперацыяй складання, як і астачы па модулю n , Z/nZ.
Кожнае колца з’яўляецца абелевай групай, адносна аперыцыі складання. Усе элементы колца, да якіх існуе адваротны элемент адносна множання, ствараюць абелеву мультыплікатыўную групу. У прыватнасці, рэчаісныя лікі з’яўляюцца групай адносна складання. а ўсе ненулявыя рэчаісныя лікі ствараюць абелеву групу адносна множання.

Крыніцы

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Тэорыя груп