Падгрупа ― падмноства
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
, якое само з’яўляецца групай адносна аперацыі, якая вызначаецца
G
{\displaystyle G}
.
Падмноства
H
{\displaystyle H}
групы
G
{\displaystyle G}
з’яўляецца яе падгрупай тады і толькі тады, калі:
{\displaystyle H}
змяшчае адзінкавы элемент з
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
,
h
{\displaystyle h}
адваротны да яго элемент
h
− 1
{\displaystyle h^{-1}}
.
У выпадку канечных і, наогул, перыядычных груп праверка другой ўмовы з’яўляецца залішняй.
G
{\displaystyle G}
, якое складаецца з аднаго элемента 1, будзе, відавочна, падгрупай, і гэтая падгрупа называецца адзінкавай падгрупай групы
G
{\displaystyle G}
.
G
{\displaystyle G}
таксама з’яўляецца сваёй падгрупай.
G
{\displaystyle G}
і адзінкавая падгрупа называюцца няўласнымі падгрупамі групы
G
{\displaystyle G}
, усе астатнія ― уласнымі.
G
{\displaystyle G}
, якія змяшчаюць усе элементы некаторага непустога мноства
M
{\displaystyle M}
, называецца *падгрупай, спароджанай мноствам
M
{\displaystyle M}
*, і абазначаецца
< M
{\displaystyle
.
M
{\displaystyle M}
складаецца з аднаго элемента
a
{\displaystyle a}
, то
< a
{\displaystyle }
называецца *цыклічнай падгрупай элемента
a
{\displaystyle a}
*. + Група, якая супадае з адной з сваіх цыклічных падгруп, называецца цыклічнай групай.
G
1
{\displaystyle G_{1}}
ізаморфная некаторай падгрупе
H
{\displaystyle H}
групы
G
{\displaystyle G}
, то кажуць, што група
G
1
{\displaystyle G_{1}}
можа быць ўкладзена ў групу
G
{\displaystyle G}
.
H ⊂ G
{\displaystyle H\subset G}
з’яўляецца падгрупай групы
G
{\displaystyle G}
тады і толькі тады, калі для любых
a , b ∈ H
{\displaystyle a,b\in H}
выконваецца
a
b
− 1
∈ H .
{\displaystyle ab^{-1}\in H.}
G
1
{\displaystyle G_{1}}
з’яўляецца падгрупай групы
G
{\displaystyle G}
.
H
{\displaystyle H}
і
K
{\displaystyle K}
называецца падгрупа, спароджаная аб’яднаннем мностваў
H ∪ K
{\displaystyle H\cup K}
.