Дзяленне з астачай (дзяленне па модулю, знаходжанне астачы ад дзялення) — арыфметычная аперацыя, від аперацыі дзялення, вынікам якой з’яўляюцца два цэлыя лікі: няпоўная дзель і астача ад дзялення цэлага ліку на другі цэлы лік.
Астача ад дзялення ўтвараецца, калі вынік дзялення нельга выразіць цэлым лікам, пры гэтым астача ад дзялення павінна быць па абсалютнай велічыні меншаю за дзельнік. У выпадку, калі лікі дзеляцца адзін на аднаго без астачы, лічаць, што астача роўная нулю. Тэрмін ужываецца таксама пры дзяленні мнагачленаў.
Падзяліць цэлы лік
a
{\displaystyle a,}
0 < b < a
{\displaystyle 0<b<a,}
з астачай азначае прадставіць яго ў выглядзе:
b
q + r ,
0 ⩽ r < b
( q ∈
Z
,
r ∈
Z
) .
{\displaystyle a=b,q+r,\quad 0\leqslant r<b\quad (q\in \mathbb {Z} ,,r\in \mathbb {Z} ).}
Пры гэтым q называецца няпоўнаю дзеллю, а r — астачаю ад дзялення a на b.
Прыклад:
78
{\displaystyle a=78}
на
33
{\displaystyle b=33}
атрымліваем няпоўную дзель
2
{\displaystyle q=2}
і астачу
12
{\displaystyle r=12}
. Праверка:
33 ⋅ 2 + 12.
{\displaystyle 78=33\cdot 2+12.}
Формула
a − ⌊ a
/
b ⌋ ⋅ b
{\displaystyle r=a-\lfloor a/b\rfloor \cdot b}
абагульняе паняцце астачы на выпадак дзялення цэлага ліку
a
{\displaystyle a}
на цэлы лік
b
{\displaystyle b}
. Пры гэтым выконваюцца суадносіны
b q + r
{\displaystyle a=bq+r}
і няроўнасць
0 ⩽
|
r
|
<
|
b
|
{\displaystyle 0\leqslant |r|<|b|}
.
Прыклады:
Пры дзяленні з астачаю адмоўнага ліку math>a = -78 на
33
{\displaystyle b=33}
атрымліваем няпоўную дзель
− 3
{\displaystyle q=-3}
і астачу
21
{\displaystyle r=21}
. Праверка:
33 ⋅ ( − 3 ) + 21.
{\displaystyle -78=33\cdot (-3)+21.}
17
{\displaystyle a=17}
на
33
{\displaystyle b=33}
атрымліваем няпоўную дзель
0
{\displaystyle q=0}
і астачу
17
{\displaystyle r=17}
. Праверка: 1
33 ⋅ 0 + 17.
{\displaystyle 17=33\cdot 0+17.}
Любы рэчаісны лік
a
{\displaystyle a}
можна без астачы падзяліць на любы ненулявы рэчаісны лік
b
{\displaystyle b}
. Пры гэтым дзель таксама будзе рэчаісным лікам. Калі ж дзель па ўмове павінна быць цэлым лікам, у гэтым выпадку астача будзе рэчаісным лікам, гэта значыць можа аказацца дробным лікам.
Фармальна:
калі
a , b ∈
R
, b ≠ 0
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0}
, то
p b + q
{\displaystyle ~a=pb+q}
, дзе
0 ⩽ q <
|
b
|
{\displaystyle 0\leqslant q<|b|}
Прыклад:
7
,
9 : 2
,
3
{\displaystyle ~7{,}9:2{,}1=3}
(астача 1,6)
Пры дзяленні двух мнагачленаў
f ( x )
{\displaystyle f(x)}
і
g ( x )
{\displaystyle g(x)}
ступень рэшткавага мнагачлена павінна быць строга меншаю за ступень дзельніка:
q ( x ) g ( x ) + r ( x ) ,
{\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x),}
прычым
deg ( r ) < deg ( g ) .
{\displaystyle \deg(r)<\deg(g).}
Прыклад:
2
x
2
( x + 1 ) ( 2 x + 2 ) + 3
{\displaystyle 2x^{2}+4x+5=(x+1)(2x+2)+3}
(астача 3).