wd wp Пошук: ⬜

Формула Герона

Фо́рмула Герона дазваляе вылічыць плошчу трохвугольніка (S) па яго баках a, b, c:

S

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )

,

{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

дзе p — паўперыметр трохвугольніка:

p

a + b + c

2

{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}

.

Доказ:  

S

1 2

a b ⋅ sin ⁡

γ

{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}

, дзе

  γ

{\displaystyle \ \gamma }

— вугал трохвугольніка, процілеглы баку

c

{\displaystyle c}

. Па тэарэме косінусаў:

c

2

=

a

2

b

2

− 2 a b ⋅ cos ⁡ γ ,

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}

Адсюль:

cos ⁡ γ

a

2

b

2

−

c

2

2 a b

,

{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}

Значыць,

 

sin

2

⁡ γ

1 −

cos

2

⁡ γ

( 1 − cos ⁡ γ ) ( 1 + cos ⁡ γ )

{\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}

=

2 a b −

a

2

−

b

2

c

2

2 a b

⋅

2 a b +

a

2

b

2

−

c

2

2 a b

=

{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}

=

c

2

− ( a − b

)

2

2 a b

⋅

( a + b

)

2

−

c

2

2 a b

=

1

4

a

2

b

2

( c − a + b ) ( c + a − b ) ( a + b − c ) ( a + b + c )

{\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}

. Заўважаючы, што

a + b + c

2 p

{\displaystyle a+b+c=2p}

,

a + b − c

2 p − 2 c

{\displaystyle a+b-c=2p-2c}

,

a + c − b

2 p − 2 b

{\displaystyle a+c-b=2p-2b}

,

c − a + b

2 p − 2 a

{\displaystyle c-a+b=2p-2a}

, атрымліваем:

sin ⁡ γ

2

a b

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )

.

{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

Такім чынам,

S

1 2

a b sin ⁡ γ

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c )

,

{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

Q.E.D.

Гісторыя

Гэта формула ўтрымліваецца ў «Метрыцы» Герона Александрыйскага (I стагоддзя н. э.) і названая ў яго гонар. Герон цікавіўся трохвугольнікамі з цэлалікавымі бакамі, плошчы якіх таксама з’яўляюцца цэлымі. Такія трохвугольнікі носяць назву геронавых трохвугольнікаў. Прасцейшым геронавым трохвугольнікам з’яўляецца егіпецкі трохвугольнік.

Варыяцыі і абагульненні

• Выразіўшы паўперыметр праз паўсуму ўсіх бакоў дадзенага трохвугольніка, прыйдзем да формулы выгляду:

S

( − 1 ) (

a

4

b

4

c

4

) + 2 (

a

2

b

2

b

2

c

2

a

2

c

2

)

4

{\displaystyle S={\frac {\sqrt {(-1)(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})}}{4}}}

• Плошча ўпісанага ў акружнасць чатырохвугольніка вылічваецца па формуле Брахмагупты:

S

( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d )

,

{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},}

дзе

p

a + b + c + d

2

{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}

 — паўперыметр чатырохвугольніка. (Трохвугольнік з’яўляецца лімітавым выпадкам упісанага чатырохвугольніка пры памкненні даўжыні адной з бакоў да нуля.)

• Тэарэма Люілье. Плошча сферычнага трохвугольніка выяўляецца праз яго бакі

θ

a

=

a R

,

θ

b

=

b R

,

θ

c

=

c R

{\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}}

як:

S

4

R

2

arctg ⁡

tg ⁡

(

θ

s

2

)

tg ⁡

(

θ

s

−

θ

a

2

)

tg ⁡

(

θ

s

−

θ

b

2

)

tg ⁡

(

θ

s

−

θ

c

2

)

{\displaystyle S=4R^{2},\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}

, где

θ

s

=

θ

a

θ

b

θ

c

2

{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}}

 — паўпрыметр.

• Для тэтраэдраў з’яўляецца ісціннай формула Герона — Тарталья, якая абагульнена таксама на выпадак іншых мнагаграннікаў (гл. выгінаныя мнагаграннікі): калі ў тэтраэдра даўжыні кантаў роўныя

l

1

,

l

2

,

l

3

,

l

4

,

l

5

,

l

6

{\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}

, то для яго аб’ёма

V

{\displaystyle V}

ісцінны выраз

144

V

2

=

l

1

2

l

5

2

(

l

2

2

l

3

2

l

4

2

l

6

2

−

l

1

2

−

l

5

2

) +

l

2

2

l

6

2

(

l

1

2

l

3

2

l

4

2

l

5

2

−

l

2

2

−

l

6

2

) +

l

3

2

l

4

2

(

l

1

2

l

2

2

l

5

2

l

6

2

−

l

3

2

−

l

4

2

) −

l

1

2

l

2

2

l

4

2

−

l

2

2

l

3

2

l

5

2

−

l

1

2

l

3

2

l

6

2

−

l

4

2

l

5

2

l

6

2

{\displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})+l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})+l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})-l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}}

.

• Формулу Герона можна запісаць з дапамогай вызначальніка ў выглядзе:

16

S

2

= −

|

0

a

2

b

2

1

a

2

0

c

2

1

b

2

c

2

0

1

1

1

1

0

|

{\displaystyle 16S^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\a^{2}&0&c^{2}&1\b^{2}&c^{2}&0&1\1&1&1&0\end{vmatrix}}}

Яна з’яўляецца прыватным выпадкам вызначальніка Кэлі — Менгера для вылічэння гіпераб’ёма сімплекса. Гл. таксама

• Тэарэма катангенсаў

Літаратура

• §258 у А. П. Киселёв. “Геометрия по Киселёву”. arΧiv:1806.06942v3 [math.HO].
• Николаев Н. О площади треугольника (руск.)  // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
• Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron’s Formula (англ.)  // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Т. 44. — С. 27—28. — доказ формулы Герона на аснове тэарэмы Піфагора

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка
Катэгорыя·Тэарэмы
Катэгорыя·Плошча
Катэгорыя·Планіметрыя