Сіметрычнай лічыцца квадратная матрыца, элементы якой сіметрычныя адносна галоўнай дыяганалі. Больш фармальна, сіметрычнай называюць такую матрыцу
A
{\displaystyle A}
, што
∀ i , j :
a
i j
=
a
j i
{\displaystyle \forall i,j:a_{ij}=a_{ji}}
.
Гэта азначае, што яна роўная яе транспанаванай матрыцы:
A
T
{\displaystyle A=A^{T}}
(
a
b
c
b
d
e
c
e
f
)
,
(
1
3
0
3
2
6
0
6
5
)
,
(
1
0
0
0
1
0
0
0
1
)
,
(
1
5
5
7
)
,
(
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&c\b&d&e\c&e&f\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&3&0\3&2&6\0&6&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&5\5&7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}}}
Сіметрычная матрыца заўсёды квадратная .
Для любой сіметрычнай матрыцы A з рэчаіснымі элементамі справядліва наступнае:
λ
1
λ
2
w ,
λ
1
≠
λ
2
⟹
v
T
0
{\displaystyle Av=\lambda _{1}v,\ Aw=\lambda _{2}w,\ \lambda _{1}\neq \lambda _{2}\implies v^{T}w=0}
Q D
Q
T
{\displaystyle A=QDQ^{T}}
, дзе
Q
{\displaystyle Q}
— артаганальная матрыца, слупкі якой ўтрымліваюць базіс з уласных вектараў, а D — дыяганальная матрыца з уласнымі значэннямі матрыцы A на дыяганалі.
λ
{\displaystyle \lambda }
, то яна мае дыяганальны выгляд:
λ E
{\displaystyle A=\lambda E}
, дзе
E
{\displaystyle E}
— адзінкавая матрыца, у любым базісе .
Сіметрычная матрыца
A
{\displaystyle A}
памерам
k × k
{\displaystyle k\times k}
з’яўляецца станоўча вызначанай, калі
∀ z ∈
R
k
:
z
T
A z
0
{\displaystyle \forall z\in R^{k}:z^{T}Az>0}
.
Умова адмоўна, нестаноўча і неадмоўна вызначанай матрыцы фармулюецца аналагічна з змяненнем аператара параўнання ў апошняй няроўнасці.
Для высвятлення характару пэўнасці матрыцы можа выкарыстоўвацца крытэрый Сільвестра.
Тэмы гэтай старонкі (1):