wd wp Пошук: ⬜

Магнітагідрадынаміка

Магнітная гідрадынаміка — фізічная дысцыпліна, якая ўзнікла на скрыжаванні гідрадынамікі і электрадынамікі суцэльных асяроддзяў. Прадметам яе вывучэння з’яўляецца дынаміка вадкасці (газу), якія праводзіць ток, ў магнітным полі. Прыкладамі такіх асяроддзяў з’яўляюцца: рознага роду плазма, вадкія металы, салёная вада.

Піянерам даследаванняў у галіне тэорыі магнитагідрадынамікі прызнаны Ханес Альфвен, быў уганараваны за гэтыя працы Нобелеўскай прэміі ў 1970 годзе. Першай эксперыментальнай працай у гэтай галіне стала даследаванне Гартманам у 1937 супраціву плыні ртуці ў трубцы пры ўздзеянні папярочнага магнітнага поля.

Ураўненні магнітнай гідрадынамікі

Поўная сістэма ўраўненняў нерэлятывісцкай магнітнай гідрадынамікі вадкасці мае выгляд:

{

∂

v →

∂ t

ρ (

v →

, ∇ )

v →

= − ∇ p −

4 π

[

H →

rot ⁡

H →

] + η Δ

v →

(

1 3

η + ζ

)

∇ div ⁡

v →

p

p ( ρ )

∂ ρ

∂ t

div ⁡ ρ

v →

= 0

∂

H →

∂ t

= −

1 σ

4 π

rot ⁡

[

∇ ×

H →

]

rot ⁡

[

v →

H →

]

∇ ⋅

H →

= 0

{\displaystyle {\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\p=p(\rho )\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{cases\}\rho \{\frac \{\partial \{\vec \{v\}\}\}\{\partial t\}\}+\rho (\{\vec \{v\}\},\nabla )\{\vec \{v\}\}=-\nabla p-\{\frac \{1\}\{4\pi \}\}[\{\vec \{H\}\}\operatorname \{rot\} \{\vec \{H\}\}]+\eta \Delta \{\vec \{v\}\}+\left(\{\frac \{1\}\{3\}\}\eta +\zeta \right)\nabla \operatorname \{div\} \{\vec \{v\}\}\\p=p(\rho )\\\{\frac \{\partial \rho \}\{\partial t\}\}+\operatorname \{div\} \rho \{\vec \{v\}\}=0\\\{\frac \{\partial \{\vec \{H\}\}\}\{\partial t\}\}=-\{\frac \{1\}\{\sigma \}\}\{\frac \{c^\{2\}\}\{4\pi \}\}\operatorname \{rot\} \left[\nabla \times \{\vec \{H\}\}\right]+\operatorname \{rot\} \left[\{\vec \{v\}\}\times \{\vec \{H\}\}\right]\\\nabla \cdot \{\vec \{H\}\}=0\end\{cases\}\}\}$ Тут

{\displaystyle \ p}

$\{\displaystyle \ p\}$ - ціск у серадзе,

{\displaystyle \ \rho }

$\{\displaystyle \ \rho \}$ - шчыльнасць,

{\displaystyle \sigma }

$\{\displaystyle \sigma \}$ - праводнасць вадкасці,

{\displaystyle \eta }

$\{\displaystyle \eta \}$ - зрухавая вязкасць,

{\displaystyle \zeta }

$\{\displaystyle \zeta \}$ - аб’ёмная вязкасць,

v →

{\displaystyle {\vec {v}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{v\}\}\}$ - поле хуткасцей яе элементаў,

H →

{\displaystyle {\vec {H}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{H\}\}\}$ - напружанасць магнітнага поля.

Гэтая сістэма змяшчае 8 ўраўненняў і дазваляе вызначыць 8 невядомых

p , ρ ,

H →

v →

{\displaystyle \ p,\rho ,{\vec {H}},{\vec {v}}}

$\{\displaystyle \ p,\rho ,\{\vec \{H\}\},\{\vec \{v\}\}\}$ пры наяўнасці зададзеных пачатковых і межавых умоў.

Калі скарыстацца наступнымі набліжанай (бездысыпатыўная мяжа):

σ → ∞

{\displaystyle \sigma \to \infty }

$\{\displaystyle \sigma \to \infty \}$ 2. η

0 ,

ζ

{\displaystyle \eta =0,\quad \zeta =0}

$\{\displaystyle \eta =0,\quad \zeta =0\}$

то сістэма ўраўненняў МГД запішацца ў больш простым выглядзе:

{

∂

v →

∂ t

ρ (

v →

, ∇ )

v →

= − ∇ p −

4 π

[

H →

rot ⁡

H →

]

p

p ( ρ )

∂ ρ

∂ t

div ⁡ ρ

v →

= 0

∂

H →

∂ t

= rot ⁡

[

v →

H →

]

∇ ⋅

H →

= 0

{\displaystyle {\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\p=p(\rho )\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}}

Вывад ураўненняў

Вывад ураўненняў МГД з ураўненняў Максвела і гідрадынамікі

Запішам сістэму ўраўненняў Максвелла ў сістэме СГС.

{

∇ ×

E →

= −

1 c

p a r t i a l v e c H

p a r t i a l t

∇ ×

H →

1 c

∂

E →

∂ t

4 π

j →

∇ ⋅

H →

= 0

∇ ⋅

E →

= 0

{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\ partial\ vecH}{\ partialt}}\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\\nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{cases\}\nabla \times \{\vec \{E\}\}=-\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\ partial\ vecH\}\{\ partialt\}\}\\\nabla \times \{\vec \{H\}\}=\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \{\vec \{E\}\}\}\{\partial t\}\}+\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\{\vec \{j\}\}\\\nabla \cdot \{\vec \{H\}\}=0\\\nabla \cdot \{\vec \{E\}\}=0\end\{cases\}\}\}$ Будзем зыходзіць з наступных здагадак:

Магнітная пранікальнасць

μ

{\displaystyle \mu =1}

$\{\displaystyle \mu =1\}$ 2. Няма электрычных зарадаў

ρ

{\displaystyle \rho =0}

$\{\displaystyle \rho =0\}$ 3. Закон Ома мае выгляд:

j →

= σ

E →

σ c

v →

H →

{\displaystyle {\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{j\}\}=\sigma \{\vec \{E\}\}+\{\frac \{\sigma \}\{c\}\}\{\vec \{v\}\}\times \{\vec \{H\}\}\}$

Абмяжуемся нерэлятывісцкім выпадкам (

v ≪ c

{\displaystyle v\ll c}

$\{\displaystyle v\ll c\}$ ), т.е

∇ ×

H →

≫

1 c

E →

{\displaystyle \left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\vec {E}}\right|}

$\{\displaystyle \left|\nabla \times \{\vec \{H\}\}\right|\gg \left|\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\vec \{E\}\}\right|\}$

Абгрунтаванне нерэлятывісцкага набліжэння.

Пакажам, што

v ≪ c

{\displaystyle v\ll c}

$\{\displaystyle v\ll c\}$ эквівалентна

∇ ×

H →

≫

1 c

∂

E →

∂ t

{\displaystyle \left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|}

$\{\displaystyle \left|\nabla \times \{\vec \{H\}\}\right|\gg \left|\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \{\vec \{E\}\}\}\{\partial t\}\}\right|\}$

∇ × ∇ ×

H →

≫

1 c

∇ ×

∂

E →

∂ t

∂

H →

∂

{\displaystyle \left|\nabla \times \nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}\nabla \times {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}\right|}

$\{\displaystyle \left|\nabla \times \nabla \times \{\vec \{H\}\}\right|\gg \left|\{\frac \{1\}\{c\}\}\nabla \times \{\frac \{\partial \{\vec \{E\}\}\}\{\partial t\}\}\right|=\{\frac \{1\}\{c^\{2\}\}\}\left|\{\frac \{\partial ^\{2\}\{\vec \{H\}\}\}\{\partial t^\{2\}\}\}\right|\}$ Ацэнім гэты выраз:

≫

{\displaystyle {\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}}}

$\{\displaystyle \{\frac \{H\}\{L^\{2\}\}\}\gg \{\frac \{1\}\{c^\{2\}\}\}\{\frac \{H\}\{\tau ^\{2\}\}\}\}$ L - характэрная даўжыня

{\displaystyle \tau }

$\{\displaystyle \tau \}$ - характэрны час

Гэта прыводзіць нас да наступных суадносінах:

≫

{\displaystyle c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2}}

$\{\displaystyle c^\{2\}\gg \{\frac \{L^\{2\}\}\{\tau ^\{2\}\}\}=v^\{2\}\}$

v ≪ c

{\displaystyle v\ll c}

$\{\displaystyle v\ll c\}$ Гэта значыць, характэрная хуткасць у сістэме павінна быць шмат менш хуткасці святла.

Ураўненні Максвела ў гэтым набліжэнні запішуцца наступным чынам:

{

∇ ×

E →

= −

1 c

∂

H →

∂ t

∇ ×

H →

4 π

j →

{\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\end{cases}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{cases\}\nabla \times \{\vec \{E\}\}=-\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \{\vec \{H\}\}\}\{\partial t\}\}\\\nabla \times \{\vec \{H\}\}=\{\frac \{4\pi \}\{c\}\}\{\vec \{j\}\}\\\end\{cases\}\}\}$ Выразім з закона Ома

E →

{\displaystyle {\vec {E}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{E\}\}\}$ і падставім яго ў першае ўраўненне:

−

1 c

∂

H →

∂ t

= ∇ ×

(

1 σ

j →

−

1 c

v →

H →

)

{\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right)}

$\{\displaystyle -\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \{\vec \{H\}\}\}\{\partial t\}\}=\nabla \times \left(\{\frac \{1\}\{\sigma \}\}\{\vec \{j\}\}-\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\vec \{v\}\}\times \{\vec \{H\}\}\right)\}$ Падставім у гэтае ўраўненне ток з другога ўраўнення Максвела і атрымаем:

−

1 c

∂

H →

∂ t

1 σ

4 π

∇ ×

[

∇ ×

H →

]

−

1 c

∇ ×

[

v →

H →

]

{\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]}

$\{\displaystyle -\{\frac \{1\}\{c\}\}\{\frac \{\partial \{\vec \{H\}\}\}\{\partial t\}\}=\{\frac \{1\}\{\sigma \}\}\{\frac \{c\}\{4\pi \}\}\nabla \times \left[\nabla \times \{\vec \{H\}\}\right]-\{\frac \{1\}\{c\}\}\nabla \times \left[\{\vec \{v\}\}\times \{\vec \{H\}\}\right]\}$ У мяжы ідэальнай вадкасці

σ → ∞

{\displaystyle \sigma \to \infty }

$\{\displaystyle \sigma \to \infty \}$ атрымліваем:

f r a

∂

H →

∂ t

= ∇ ×

[

v →

H →

]

{\displaystyle \ fra{\partial {\vec {H}}}{\partial t}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]}

$\{\displaystyle \ fra\{\partial \{\vec \{H\}\}\}\{\partial t\}=\nabla \times \left[\{\vec \{v\}\}\times \{\vec \{H\}\}\right]\}$

Для сувязі з гідрадынамікай ва ўраўненне Наўе — Стокса дадаецца член, які адказвае за сілу Ампера, якая дзейнічае на токі з боку магнітнага поля (ток выяўляецца з другога ўраўнення Максвела праз напружанасць магнітнага поля):

f →

1 c

[

j →

H →

]

= −

4 π

[

H →

t i m e s rot ⁡

H →

]

{\displaystyle {\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\ times\operatorname {rot} {\vec {H}}\right]}

$\{\displaystyle \{\vec \{f\}\}=\{\frac \{1\}\{c\}\}\left[\{\vec \{j\}\}\times \{\vec \{H\}\}\right]=-\{\frac \{1\}\{4\pi \}\}\left[\{\vec \{H\}\}\ times\operatorname \{rot\} \{\vec \{H\}\}\right]\}$

Прыкладанні

Прынцыпы магнітнай гідрадынамікі выкарыстоўваюцца для дыстанцыйнага кантролю і кіравання паводзінамі вадкіх металаў у прамысловасці, у прыватнасці:

МГД-насос
Магнітагідрадынамічная апрацоўка
МГД-генератар

Гл. таксама

Літаратура

Денисов В. И. «Введение в электродинамику материальных сред: Учебное пособие». — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. — ISBN 5-211-01371-9
Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Физматлит, 2003. — 656 с. — («Теоретическая физика», том VIII). — ISBN 5-9221-0123-4

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Электрадынаміка
Катэгорыя·Механіка суцэльных асяроддзяў