wd wp Пошук: ⬜

Зваротнае ўраўненне

Зваро́тнае ўраўне́нне — алгебраічнае ўраўненне віду:

a

n

x

n

a

n − 1

x

n − 1

⋯ +

a

1

x +

a

0

= 0 ,

{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0,}

дзе каэфіцыенты, якія стаяць на сіметрычных адносна сярэдзіны месцах, роўныя, г.зн.

a

n − k

=

a

k

{\displaystyle a_{n-k}=a_{k}}

  пры k = 0, 1, …, n. Ураўненне чацвёртай ступені

Разгледзім зваротнае ўраўненне чацвёртай ступені віду

a

x

4

b

x

3

c

x

2

b x + a

0 ,

{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,}

дзе a, b і c — некаторыя лікі, прычым a ≠ 0.

Алгарытм рашэння такіх ураўненняў:

• падзяліць левую і правую часткі ўраўнення на

x

2

{\displaystyle x^{2}}

. Пры гэтым рашэнні не губляюцца, бо x = 0 не з’яўляецца коранем зыходнага ўраўнення пры a ≠ 0;

• групоўкай прывесці атрыманае ўраўненне да выгляду

a

(

x

2

1

x

2

)

b

(

x +

1 x

)

c

0 ;

{\displaystyle a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0;}

• увесці новую пераменную

t

x +

1 x

,

{\displaystyle t={x+{1 \over x}},}

тады выконваецца

t

2

=

x

2

2 +

1

x

2

,

{\displaystyle t^{2}={x^{2}+2+{1 \over {x^{2}}}},}

  г.зн.  

x

2

1

x

2

=

t

2

− 2

;

{\displaystyle {x^{2}+{1 \over {x^{2}}}}={t^{2}-2};}

• у новых пераменных ураўненне будзе квадратным:

a

t

2

b t + c − 2 a

0 ;

{\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0;}

• рашыць яго адносна t, вярнуцца да зыходнай пераменнай.

Ураўненні, падобныя на зваротныя

Калі для каэфіцыентаў ураўнення

a

x

4

b

x

3

c

x

2

d x + e

0

{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}

выконваецца роўнасць

e a

=

(

d b

)

2

,

{\displaystyle {\frac {e}{a}}=\left({\frac {d}{b}}\right)^{2},}

тады такое ўраўненне можна звесці да квадратнага ўраўнення адносна t падстаноўкай

t

b x +

d x

.

{\displaystyle t=bx+{\frac {d}{x}}.}

Адсюль, напрыклад, вынікае, што ўраўненне

a

x

4

b

x

3

c

x

2

− b x + a

0

{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}-bx+a=0}

зводзіцца да квадратнага адносна t падстаноўкай

t

x −

1 x

.

{\displaystyle t=x-{\frac {1}{x}}.}

Ураўненні пятай і вышэйшых ступеней

Для зваротных ураўненняў вышэйшых ступеней справядлівыя наступныя сцвярджэнні:

• Зваротнае ўраўненне цотнай ступені зводзіцца да ўраўнення ўдвая меншай ступені падстаноўкай

x +

1 x

= t .

{\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=t.}

• Зваротнае ўраўненне няцотнай ступені абавязкова мае корань x = −1 і пасля дзялення мнагачлена ў левай частцы гэтага ўраўнення на двухчлен x + 1, прыводзіцца да зваротнага ўраўнення цотнай ступені.

Гл. таксама

• Біквадратнае ўраўненне
• Паліндром

Спасылкі

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials(англ.)  на MathPages

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Алгебраічныя ўраўненні