Групай Лі над полем
K
{\displaystyle K}
(
R
{\displaystyle K=\mathbb {R} }
або
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
) называецца група
G
{\displaystyle G}
, забяспечаная структурай дыферэнцавальнай (гладкай) мнагастайнасці над
K
{\displaystyle K}
такім чынам, што адлюстраванні
mul
{\displaystyle \operatorname {mul} }
і
inv
{\displaystyle \operatorname {inv} }
:
mul : G × G → G ;
x y ,
{\displaystyle \operatorname {mul} :G\times G\to G;\quad \operatorname {mul} (x,y)=xy,}
inv : G → G ;
x
− 1
{\displaystyle \operatorname {inv} :G\to G;\quad \operatorname {inv} x=x^{-1}}
з’яўляюцца гладкімі (у выпадку поля
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
патрабуюць галаморфнасці уведзеных адлюстраванняў).
Усякая комплексная
n
{\displaystyle n}
-мерная група Лі з’яўляецца рэчаіснай групай Лі размернасці
2 n
{\displaystyle 2n}
. Усякая камплексная група Лі па азначэнню з’яўляецца аналітычнай мнагастайнасцю, але і ў рэчаісным выпадку на любой групе Лі існуе аналітычны атлас, у якім адлюстраванні
mul
{\displaystyle \operatorname {mul} }
і
inv
{\displaystyle \operatorname {inv} }
запісваюцца аналітычнымі функцыямі.
Групы былі названы ў гонар Софуса Лі. Групы Лі натуральна ўзнікаюць пры разглядзе непарыўных сіметрый. Напрыклад, рухі плоскасці ўтвараюць групу Лі. Групы Лі з’яўляюцца ў сэнсе багацця структуры лепшымі з мнагастайнасцей і ў такой якасці вельмі важныя ў дыферэнцыяльнай геаметрыі і тапалогіі. Яны таксама іграюць значную ролю ў геаметрыі, фізіцы і матэматычным аналізе.
Групы Лі класіфікуюцца па сваіх алгебраічных уласцівасцях (прастаце, паўпрастаце, вырашальнасці, нільпатэнтнасці, абелевасці), а таксама па тапалагічных уласцівасцях (звязнасці, адназвязнасці і кампактнасці).
Падгрупа
H
{\displaystyle H}
групы Лі
G
{\displaystyle G}
называецца яе падгрупай Лі, калі яна з’яўляецца падмнагастайнасцю ў мнагастайнасці
G
{\displaystyle G}
, гэта значыць знойдзецца
m
0
{\displaystyle m>0}
такое, што
H
{\displaystyle H}
задаецца ў наваколлі кожнага свайго пункта
p
{\displaystyle p}
сістэмай з
k
{\displaystyle k}
функцый, якая мае ў
p
{\displaystyle p}
ранг
m
{\displaystyle m}
. Не ўсякая падгрупа з’яўляецца падгрупай Лі: напрыклад, падгрупа пар віду
(
e
i x
,
e
i π x
)
{\displaystyle (e^{ix},e^{i\pi x})}
у торы
{ (
e
i x
,
e
i y
) ∣ x , y ∈
R
}
{\displaystyle \{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in \mathbb {R} \}}
не падгрупа Лі (яна дае усюды шчыльную абмотку тора). Падгрупа Лі заўсёды замкнутая. У рэчаісным выпадку справядліва і адваротнае: замкнутая падгрупа з’яўляецца падгрупай Лі. У камплексным выпадку гэта не так: бываюць рэчаісныя падгрупы Лі камплекснай групы Лі, якія маюць няцотную размернасць, напрыклад, унітарныя матрыцы ў групе абарачальных камплексных матрыц
2 × 2
{\displaystyle 2\times 2}
.
Хай
H
{\displaystyle H}
— падгрупа Лі групы Лі
G
{\displaystyle G}
. Мноства
G
/
H
{\displaystyle G/H}
сумежных класаў (усё роўна, левых ці правых) можна адзіным чынам надзяліць структурай дыферэнцавальнай мнагастайнасці так, каб кананічная праекцыя была дыферэнцавальным адлюстраваннем. Пры гэтым атрымаецца лакальна трывіяльнае расслаенне, і калі
H
{\displaystyle H}
— нармальная падгрупа, то фактаргруппа будзе групай Лі.
Групы Лі часта выступаюць як сіметрыі якой-небудзь структуры на некаторай мнагастайнасці, а таму натуральна, што вывучэнне дзеянняў груп Лі на розных мнагастайнасцях з’яўляецца важным раздзелам тэорыі. Кажуць, што група Лі G дзейнічае на гладкай мнагастайнасці M, калі зададзены гомамарфізм груп a: G → Diff M, дзе Diff M — група дыфеамарфізмаў M. Такім чынам, кожнаму элементу g групы G павінна адпавядаць дыфеаморфнае пераўтварэнне ag мнагастайнасці M, прычым здабытку элементаў і ўзяццю адваротнага элемента адпавядаюць кампазіцыя дыфеамарфізмаў і адваротны дыфеамарфізм. Калі з кантэксту ясна, пра якое дзеянне ідзе гаворка, то вобраз ag(m) пункта m пры дыфеамарфізме, які вызначаецца элементам g, абазначаецца проста gm.
Група Лі натуральна дзейнічае на сабе левымі і правымі зрухамі, а таксама спалучэннямі. Гэтыя дзеянні традыцыйна абазначаюцца l, r и a:
l**g(h) = gh, r**g(h) = hg, a**g(h) = ghg−1. Іншым прыкладам дзеяння з’яўляецца дзеянне групы Лі G на мностве сумежных класаў гэтай групы па якой-небудзь падгрупе Лі N ≤ G:
g (hN) = (gh)N, Дзеянне групы Лі G на дыферэнцавальнай мнагастайнасці M называецца транзітыўным, калі любы пункт M можна перавесці ў любы іншы з дапамогай дзеяння некаторага элемента G. Мнагастайнасць, на якой зададзена транзітыўнае дзеянне групы Лі называецца аднароднай прасторай гэтай групы. Аднародныя прасторы адыгрываюць важную ролю ў многіх раздзелах геаметрыі. Аднародная прастора групы G дыфеаморфная G / st x, дзе st x — стабілізатар адвольнага пункта.
Са ўсякай групай Лі можна звязаць некаторую алгебру Лі, якая цалкам адлюстроўвае лакальную структуру групы, ва ўсякім выпадку, калі група Лі звязная.
Вектарнае поле на групе Лі G называецца леваінварыянтным, калі яно перастаўляльнае з левымі зрухамі, гэта значыць
V(lg* f) = lg* (Vf) для ўсіх g з G, і любой дыферэнцавальнай функцыі f. Раўназначна,
dlg (Vx) = Vgx для ўсіх x, g з G. Відавочна, любое леваінварыянтнае вектарнае поле V на групе Лі цалкам вызначаецца сваім значэннем Ve ў адзінцы. Наадварот, задаўшы адвольны вектар V у датычнай прасторы Ge да адзінкі, можна разнесці яго левымі зрухамі па ўсёй групе. Атрымліваецца ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж датычнай прасторай да групы ў адзінцы і прасторай леваінварыянтных вектарных палёў.
Дужка Лі [X,Y] леваінварыянтных вектарных палёў будзе леваінварыянтным вектарным полем. Таму Ge з’яўляецца алгебрай Лі. Гэтая алгебра называецца алгебрай Лі групы G. Звычайна яна абазначаецца адпаведнай малой гатычнай літарай.