wd wp Пошук: ⬜

Гаўсаў пучок

Гаўсаў пучок (сін. гаўсаўскі пучок) - пучок электрамагнітнага выпраменьвання, у якім размеркаванне электрычнага поля ў папярочным сячэнні добра набліжаецца функцыяй Гаўса. Кагерэнтны светлавы пучок з гаўсаўскім размеркаваннем поля мае фундаментальае значэнне ў тэорыі хвалевых пучкоў. Гэты пучок называецца асноўнай модай у адрозненне ад іншых модаў больш высокага парадку.

Матэматычнае апісанне

Шукаецца рашэнне наступнага хвалевага раўнання, якое апісвае распаўсюджванне пучка ў выглядзе [1] :

Ψ

u ( x , y , z )

i k z

{\displaystyle \Psi =u(x,y,z)e^{ikz}}

$\{\displaystyle \Psi =u(x,y,z)e^\{ikz\}\}$ , дзе

u ( x , y , z )

{\displaystyle u(x,y,z)}

$\{\displaystyle u(x,y,z)\}$ - павольна змяняльная камплексная функцыя, якая вызначае ўласцівасці лазернага промня, якія адрозніваюць яго ад плоскай хвалі . Прымяненне аператара Δ да функцыі Ψ дае:

Δ Ψ

(

∂

2 i k

∂ u

∂ z

−

)

i k z

{\displaystyle \Delta \Psi =\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}-k^{2}u\right)e^{ikz}}

$\{\displaystyle \Delta \Psi =\left(\{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial x^\{2\}\}\}+\{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial y^\{2\}\}\}+\{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial z^\{2\}\}\}+2ik\{\frac \{\partial u\}\{\partial z\}\}-k^\{2\}u\right)e^\{ikz\}\}$ . Калі у гэтым выразе пагрэбаваць другой вытворнай ад

{\displaystyle u}

$\{\displaystyle u\}$ па

{\displaystyle z}

$\{\displaystyle z\}$ у параўнанні з першай, на аснове хвалевага раўнання Гельмгольца атрымліваецца раўнанне:

∂

2 i k

∂ u

∂ z

= 0

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0}

$\{\displaystyle \{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial x^\{2\}\}\}+\{\frac \{\partial ^\{2\}u\}\{\partial y^\{2\}\}\}+2ik\{\frac \{\partial u\}\{\partial z\}\}=0\}$ . Атрыманае раўнанне адносіцца да ўраўненняў парабалічнага тыпу, а набліжэнне, у якім яно атрыманае, называецца парабалічным набліжэннем. Лёгка паказаць, што раўнанню будзе задавальняць гаўсаў пучок, амплітуда якога змяняецца ўздоўж папярочнай каардынаты паводле закона Гаўса.

Для гаўсавага пучка можна запісаць выраз:

u

a exp ⁡

[

(

p +

2 q

)

]

{\displaystyle u=a\exp {\left[i\left(p+{\frac {k}{2q}}r^{2}\right)\right]}}

$\{\displaystyle u=a\exp \{\left[i\left(p+\{\frac \{k\}\{2q\}\}r^\{2\}\right)\right]\}\}$ , дзе r 2 = х 2 + у 2 . Параметр р - камплексны зрух фазы падчас распаўсюджвання святла ўздоўж восі z, і q - комплексны параметр пучка, які вызначае гаўсавае размеркаванне поля па каардынаце r, дзе r - адлегласць ад восі. Акрамя таго, q вызначае крывізну хвалевага фронту, які з’яўляецца сферычным каля восі z.

Разгледзім уласцівасці гаўсавага пучка з даўжынёй хвалі λ больш падрабязна. Для гэтага выразім камплексны параметр q праз два параметры пучка R і w

1 q

1 R

{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}+i{\frac {\lambda }{\pi w^{2}}},}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{q\}\}=\{\frac \{1\}\{R\}\}+i\{\frac \{\lambda \}\{\pi w^\{2\}\}\},\}$ дзе R - радыус крывізны хвалевага фронту, а w характарызуе змяненне поля E ў папярочнай плоскасці (параметр w называецца шырынёй пучка). Размеркаванне поля ў гэтай плоскасці падпарадкоўваецца закону Гаўса, а w роўнае адлегласці, на якім амплітуда поля памяншаецца ў e разоў у параўнанні з полем на восі.

Уласцівасці пучка

Шырыня гаўсава пучка w як функцыя ад z.
w ₀ : перацяжка пучка; b: канфакальны параметр; z_R : рэлееўская даўжыня; Θ: вуглавая разбежнасць пучка

Шырыня пучка

У некаторай плоскасці, так званай шыйцы каўстычнай паверхні або перацяжцы, гаўсавы пучок сцягваецца да мінімальнай шырыні w0 . У гэтай плоскасці, ад якой мэтазгодна вылічваць адлегласць z, фазавы фронт плоскі, а камплексны параметр пучка становіцца чыста ўяўным:

i λ

= i

{\displaystyle q_{0}={\frac {\pi w_{0}^{2}}{i\lambda }},z_{R}=iq_{0},}

$\{\displaystyle q_\{0\}=\{\frac \{\pi w_\{0\}^\{2\}\}\{i\lambda \}\},z_\{R\}=iq_\{0\},\}$ дзе zR - рэлееўская даўжыня. Тады шырыня промня на адлегласці z задаецца наступнай формулай:

w ( z )

1 +

(

λ z

)

{\displaystyle w(z)=w_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {\lambda z}{\pi w_{0}^{2}}}\right)^{2}}}}

$\{\displaystyle w(z)=w_\{0\}\{\sqrt \{1+\left(\{\frac \{\lambda z\}\{\pi w_\{0\}^\{2\}\}\}\right)^\{2\}\}\}\}$

Радыус крывізны

Залежнасць радыусу крывізны ад каардынаты:

R ( z )

(

1 +

(

λ z

)

{\displaystyle R(z)=z\left(1+\left({\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda z}}\right)^{2}\right)}

$\{\displaystyle R(z)=z\left(1+\left(\{\frac \{\pi w_\{0\}^\{2\}\}\{\lambda z\}\}\right)^\{2\}\right)\}$

Разбежнасць пучка

Абгінальная промня w (z) ставіць сабой гіпербалу, асімптота якой нахіленая да восі пад вуглом

θ

{\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}}

$\{\displaystyle \theta =\{\frac \{\lambda \}\{\pi w_\{0\}\}\}\}$ . Гэты вугал роўны вуглу дыфракцыі галоўнай моды ў далёкай зоне.

Поўная вуглавая разбежнасць промня складае

Θ

2 θ

{\displaystyle \Theta =2\theta }

$\{\displaystyle \Theta =2\theta \}$ . Моды вышэйшых парадкаў

Гаўсавы пучкі - толькі адно з магчымых рашэнняў параксіяльнага хвалевага ўраўнення. Для мадэлявання лазерных прамянёў выкарыстоўваюцца камбінацыі розных артаганальных рашэнняў. У агульным выпадку, калі вызначаецца поўны базіс рашэнняў, то любы пучок можна апісаць як суперпазіцыю рашэнняў з базісу.

Крыніцы

↑ Гончаренко А. М. Гауссовы пучки света. Мн., «Наука и техника», 1977, 144 с.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Лазерная фізіка
Катэгорыя·Электрамагнітнае выпраменьванне
Катэгорыя·Фізічная оптыка