wd wp Пошук: ⬜

Квадратнае ўраўненне

Квадра́тнае ўраўне́нне, або квадрато́вае раўна́нне[1] — гэта ўраўненне выгляду

a

x

2

b x + c

0 ,

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}

дзе a, b, c — вызначаныя лікі, a ≠ 0, x — невядомая велічыня.

Развязанне ўраўнення

Тэарэма Віета

Асноўны артыкул: Тэарэма Віета Лікі

x

1

{\displaystyle x_{1}}

і

x

2

{\displaystyle x_{2}}

ёсць каранямі квадратнага ўраўнення

a

x

2

b x + c

0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):

{

x

1

x

2

= −

b a

,

x

1

⋅

x

2

=

c a

.

{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}.\end{cases}}}

Заўвага 1: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

Заўвага 2: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань

x

1

=

x

2

,

{\displaystyle x_{1}=x_{2},}

формулы Віета прымаюць выгляд

2

x

1

= −

b a

,

{\displaystyle 2x_{1}=-{\frac {b}{a}},}

x

1

2

=

c a

.

{\displaystyle x_{1}^{2}={\frac {c}{a}}.}

Прыклад

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент a = 1. У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент. Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

x

2

− x − 6

0

{\displaystyle x^{2}-x-6=0}

(a = 1, b = -1, c = -6).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

x

1

⋅

x

2

= − 6 ,

{\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}=-6,}

x

1

x

2

= 1.

{\displaystyle x_{1}+x_{2}=1.}

Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3. Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6. Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.

Дыскрымінант

Асноўны артыкул: Дыскрымінант

Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення

a

x

2

b x + c

0

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

называецца велічыня

D

b

2

− 4 a c .

{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}

• Калі D > 0, карані вылічваюць па формуле

x

1 , 2

=

− b ±

D

2 a

.

{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.}

• Калі D = 0, карані вылічваюць па формуле

x

1

=

x

2

=

− b

2 a

.

{\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}.}

• Калі D < 0, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі D < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

x

1 , 2

=

− b ± i

|

D

|

2 a

,

{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}},}

дзе i — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

i

2

= − 1.

{\displaystyle i^{2}=-1.}

Прыклад

Разгледзім тое ж ураўненне

x

2

− x − 6

0

{\displaystyle x^{2}-x-6=0}

(a = 1, b = -1, c = -6).

Вылічым дыскрымінант

D

( − 1

)

2

− 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 )

{\displaystyle D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25.}

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

x

1

=

− ( − 1 ) +

25

2 ⋅ 1

=

1 + 5

2

= 3 ,

{\displaystyle x_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1+5}{2}}=3,}

x

2

=

− ( − 1 ) −

25

2 ⋅ 1

=

1 − 5

2

= − 2.

{\displaystyle x_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1-5}{2}}=-2.}

Зноскі

1. ↑
   Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Алгебраічныя ўраўненні