У гэтага паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Функцыянал. Функцыяна́л — гэта функцыя, якая зададзена на адвольным мностве і мае лікавую вобласць значэнняў: звычайна мноства рэчаісных лікаў
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
[1].
Вобласць вызначэння функцыянала можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з’яўляецца тапалагічнай прасторай, можна вызначыць неперарыўны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца лінейнай прасторай над
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
або над
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, можна вызначыць лінейны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца ўпарадкаваным мноствам, можна вызначыць манатонны функцыянал.
Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы
X
{\displaystyle X}
, называецца неперарыўным, калi ён неперарыўны як адвображанне ў тапалагічную прастору
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
або
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы
X
{\displaystyle X}
, называецца неперарыўным у кропцы
x ∈ X
{\displaystyle x\in X}
, калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адвображанне ў тапалагічную прастору
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
або
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
.
У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адвображанне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) кальцо.
Зададзены на лінейнай прасторы функцыянал, які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адвображанне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць аператарам) .
Мабыць, самы просты функцыянал — праекцыя — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).
Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора функцый (неперарыўныя функцыі на адрэзку, інтэгравальныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адвображанне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).
Функцыянал на лінейнай прасторы называецца дадатна вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.
Адвображанне, якое пераводзіць вектар у яго норму, з’яўляецца выпуклым дадатна вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца дзеянне — таксама функцыянал.
Задачы аптымізацыі фармулююцца на мове функцыяналаў: знайсці рашэнне (ураўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы ўключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.
Пазней ад паняцця традыцыйнага функцыянала аддзялілася паняцце функцыянала ў лінейнай прасторы, як функцыі, якая адвображвае элементы лінейнай прасторы ў яе прастору скаляраў. Часта (напрыклад, калі прастора функцый з’яўляецца лінейнай прасторай) гэтыя дзве разнавіднасці паняцця «функцыянал» супадаюць, у той жа час яны не тоесныя і не паглынаюць адна адну.
Асабліва важнай разнавіднасцю функцыяналаў з’яўляюцца лінейныя функцыяналы.