wd wp Пошук: ⬜

Сіметрычны мнагачлен

Сіметры́чны мнагачле́н — мнагачлен ад n зменных

F (

x

1

,

x

2

, . . . ,

x

n

)

{\displaystyle F(x_{1},x_{2},…,x_{n})}

, які не мяняе выгляду пры любых перастаноўках сваіх зменных. Інакш кажучы, калі адвольным чынам перанумараваць зменныя, сіметрычны мнагачлен застанецца тым жа.

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены — мнагачлены віду

σ

k

(

x

1

,

x

2

, … ,

x

n

)

∑

1 ≤

j

1

<

j

2

< … <

j

k

≤ n

x

j

1

…

x

j

k

,

{\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\dots x_{j_{k}},}

вызначаныя для

k

1 , 2 … n

{\displaystyle k=1,2\ldots n}

, г.зн. такія:

σ

1

(

x

1

,

x

2

, … ,

x

n

)

=

x

1

x

2

⋯ +

x

n

σ

2

(

x

1

,

x

2

, … ,

x

n

)

=

x

1

x

2

x

1

x

3

⋯ +

x

n − 1

x

n

⋯

σ

n − 1

(

x

1

,

x

2

, … ,

x

n

)

=

x

1

x

2

…

x

n − 1

x

1

x

2

…

x

n − 2

x

n

⋯ +

x

2

x

3

…

x

n

σ

n

(

x

1

,

x

2

, … ,

x

n

)

=

x

1

x

2

…

x

n

{\displaystyle {\begin{array}{lcr}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\&\cdots &\\sigma _{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\sigma _{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\end{array}}}

Прыклады

• Дыскрымінант — мнагачлен віду

D ( p )

a

n

2 n − 2

∏

i < j

(

α

i

−

α

j

)

2

,

{\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},}

дзе

α

1

,

α

2

, … ,

α

n

{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}

 — карані нейкага мнагачлена ад аднае зменнай:

p ( x )

a

0

a

1

x + . . . +

a

n

x

n

.

{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+…+a_{n}x^{n}.}

• Ступенныя сумы — сумы аднолькавых ступеней зменных, г.зн.

F (

x

1

,

x

2

, … ,

x

n

)

∑

i

1

n

x

i

α

{\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў сцвярджае:

Любы сіметрычны мнагачлен можна прадставіць адназначным чынам у выглядзе мнагачлена ад элементарных сіметрычных мнагачленаў.

Гл. таксама

• Дыскрымінант
• Сіметрычная група

Літаратура

• Э. Б. Винберг. Курс алгебры.. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — С. 127–134.
• З. Б. Райхштейн Тождества Ньютона и математическая индукция // Математическое просвещение. — 2000. — В. 4. — С. 204–205.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Мнагачлены