wd wp Пошук: ⬜

Праектыўная прастора

У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў пункце збегу(англ.) бел. на гарызонце.

Праекты́ўная прасто́ра над полем K — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы L(K) над гэтым полем. Прамыя прасторы L(K) называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела K.

Калі L мае размернасць n+1, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік n, а сама праектыўная прастора абазначаецца KP**n і называецца асацыяванаю з L (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне P(L)).

Пераход ад вектарнай прасторы L(K) размернасці n+1 да адпаведнай праектыўнай прасторы KP**n называецца праектывізацыяй прасторы L(K).

Пункты KP**n можна апісаць з дапамогаю аднародных каардынат(руск.) бел..

Аксіяматычнае азначэнне

Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу гільбертавай(руск.) бел.. У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:

Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
Калі прамыя L і M перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты p і q ляжаць на прамой L, а пункты s і r — на прамой M, то прамыя ps і qr перасякаюцца.

Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых

p , q ∈ P

{\displaystyle p,q\in P}

$\{\displaystyle p,q\in P\}$ з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы ланцуг(руск.) бел. падпрастор віду

∅

− 1

⊂

⊂ ⋯

= P .

{\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.}

$\{\displaystyle \varnothing =X_\{-1\}\subset X_\{0\}\subset \cdots X_\{n\}=P.\}$ Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў “пункт” і “прамая”. І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

Класіфікацыя

Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
Размернасць 2 (праектыўная плоскасць(руск.) бел.): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду

{\displaystyle KP^{n}}

$\{\displaystyle KP^\{n\}\}$ для некаторага цела

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ задавальняюць аксіёму Дэзарга(руск.) бел., аднак існуюць такія недэзаргавы плоскасці(англ.) бел..

Большыя размернасці: згодна з тэарэмаю Веблена — Юнга(англ.) бел.[1], любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя модуля(руск.) бел. над некаторым целам.

Звязаныя азначэнні і ўласцівасці

Няхай

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ — гіперплоскасць у лінейнай прасторы

{\displaystyle L}

$\{\displaystyle L\}$ . Праектыўная прастора

P ( M ) ⊂ P ( L )

{\displaystyle P(M)\subset P(L)}

$\{\displaystyle P(M)\subset P(L)\}$ называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў

P ( L )

{\displaystyle P(L)}

$\{\displaystyle P(L)\}$ .

На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці

A

P ( L ) ∖ P ( M )

{\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)}

$\{\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)\}$ існуе натуральная структура афіннай прасторы(руск.) бел..

Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

Таўталагічнае расслаенне

Таўталагічным расслаеннем

: E →

{\displaystyle \gamma ^{n}:E\to \mathbb {R} P^{n}}

$\{\displaystyle \gamma ^\{n\}:E\to \mathbb \{R\} P^\{n\}\}$ называецца вектарнае расслаенне(руск.) бел., прастораю расслаення якога з’яўляецца падмноства прамога здабытку

n + 1

{\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}}

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} P^\{n\}\times \mathbb \{R\} ^\{n+1\}\}$

E (

) :=

{

( { ±

x } , v ) ∈

n + 1

: v

λ x ,

λ ∈

}

{\displaystyle E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm ;x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}.}

$\{\displaystyle E(\gamma ^\{n\}):=\{\big \\{\}(\\{\pm \;x\\},v)\in \mathbb \{R\} P^\{n\}\times \mathbb \{R\} ^\{n+1\}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb \{R\} \{\big \\}\}.\}$ а слоем — рэчаісная прамая

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ . Кананічная праекцыя

{\displaystyle \gamma ^{n}}

$\{\displaystyle \gamma ^\{n\}\}$ адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты

± x ∈

n + 1

{\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}}

$\{\displaystyle \pm x\in \mathbb \{R\} ^\{n+1\}\}$ , у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры

n ≥ 1

{\displaystyle n\geq 1}

$\{\displaystyle n\geq 1\}$ гэта расслаенне не з’яўляецца трывіяльным. Пры

n

{\displaystyle n=1}

$\{\displaystyle n=1\}$ прастораю расслаення з’яўляецца стужка Мёбіуса.

Зноскі

↑ Veblen, Oswald; Young, John Wesley. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)

Літаратура

Артин Э. Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
Фиников С. П. Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Праектыўная геаметрыя
Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай