Праекты́ўная прасто́ра над полем K — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы L(K) над гэтым полем. Прамыя прасторы L(K) называюцца пунктамі праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела K.
Калі L мае размернасць n+1, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік n, а сама праектыўная прастора абазначаецца KP**n і называецца асацыяванаю з L (каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне P(L)).
Пераход ад вектарнай прасторы L(K) размернасці n+1 да адпаведнай праектыўнай прасторы KP**n называецца праектывізацыяй прасторы L(K).
Пункты KP**n можна апісаць з дапамогаю аднародных каардынат(руск.) бел..
Праектыўная прастора можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу гільбертавай(руск.) бел.. У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў P, мноства прамых L і дачынення інцыдэнтнасці I, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:
Падпрастораю праектыўнай прасторы называецца падмноства T мноства P, такое што для любых
p , q ∈ P
{\displaystyle p,q\in P}
з гэтага падмноства ўсе пункты прамой pq належаць T. Размернасцю праектыўнай прасторы P называецца найбольшы лік n, такі што існуе строга нарастаючы ланцуг(руск.) бел. падпрастор віду
X
− 1
⊂
X
0
⊂ ⋯
X
n
= P .
{\displaystyle \varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.}
Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў “пункт” і “прамая”. І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.
K
P
n
{\displaystyle KP^{n}}
для некаторага цела
K
{\displaystyle K}
задавальняюць аксіёму Дэзарга(руск.) бел., аднак існуюць такія недэзаргавы плоскасці(англ.) бел..
M
{\displaystyle M}
— гіперплоскасць у лінейнай прасторы
L
{\displaystyle L}
. Праектыўная прастора
P ( M ) ⊂ P ( L )
{\displaystyle P(M)\subset P(L)}
называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў
P ( L )
{\displaystyle P(L)}
.
P ( L ) ∖ P ( M )
{\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)}
існуе натуральная структура афіннай прасторы(руск.) бел..
A
{\displaystyle A}
можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.
Таўталагічным расслаеннем
γ
n
: E →
R
P
n
{\displaystyle \gamma ^{n}:E\to \mathbb {R} P^{n}}
называецца вектарнае расслаенне(руск.) бел., прастораю расслаення якога з’яўляецца падмноства прамога здабытку
R
P
n
×
R
n + 1
{\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}}
E (
γ
n
) :=
{
( { ±
x } , v ) ∈
R
P
n
×
R
n + 1
λ x ,
λ ∈
R
}
.
{\displaystyle E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm ;x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}.}
а слоем — рэчаісная прамая
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
. Кананічная праекцыя
γ
n
{\displaystyle \gamma ^{n}}
адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты
± x ∈
R
n + 1
{\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}}
, у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры
n ≥ 1
{\displaystyle n\geq 1}
гэта расслаенне не з’яўляецца трывіяльным.
Пры
1
{\displaystyle n=1}
прастораю расслаення з’яўляецца стужка Мёбіуса.