Медыяна трохвугольніка
Медыя́на трохвуго́льніка (лац.: mediāna — сярэдняя) ― адрэзак унутры трохвугольніка, якія злучае вяршыню трохвугольніка з сярэдзінаю процілеглай стараны, а таксама прамая, якая ўтрымлівае гэты адрэзак.
Уласцівасці
- Медыяны трохвугольніка перасякаюцца з адным пункце, які называецца цэнтроідам ці цэнтрам цяжару трохвугольніка, і дзеляцца гэтым пунктам на дзве часткі ў адносіне 2:1, лічачы ад вяршыні.
- Медыяна разбівае трохвугольнік на два роўнавялікія трохвугольнікі.
- Трохвугольнік дзеліцца трыма медыянамі на шэсць роўнавялікіх трохвугольнікаў.
- Большай старане трохвугольніка адпавядае меншая медыяна.
- З вектараў, утвараючых медыяны, можна скласці трохвугольнік.
- Пры афінных пераўтварэннях медыяна пераходзіць у медыяну.
- Формула медыяны праз стораны (выводзіцца з тэарэмы Сцюарта ці дабудоваю да паралелаграма і выкарыстаннем роўнасці ў паралелаграме сумы квадратаў старон і сумы квадратаў дыяганалей):
m
c
=
2
a
2
2
b
2
−
c
2
2
,
{\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}},}
- У прыватнасці, сума квадратаў медыян адвольнага трохвугольніка ў 4/3 раза меншая за суму квадратаў яго старон:
m
a
2
m
b
2
m
c
2
=
3 4
(
a
2
b
2
c
2
) .
{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}
- Формула стараны праз медыяны:
a
2 3
2 (
m
b
2
m
c
2
) −
m
a
2
,
{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {2(m_{b}^{2}+m_{c}^{2})-m_{a}^{2}}},}
m
a
,
m
b
,
m
c
{\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c}}
a , b , c
{\displaystyle a,b,c}
Гл. таксама
Спасылкі
- Асноўныя лініі трохвугольніка (руск.)
Катэгорыя·Планіметрыя
Катэгорыя·Геаметрыя трохвугольніка