wd wp Пошук: ⬜

Віртуальная чорная дзірка

Віртуальная чорная дзірка — гіпатэтычны аб’ект квантавай гравітацыі: чорная дзірка, якая ўзнікла ў выніку квантавай флуктуацыі прасторы-часу[1]. З’яўляецца адным з прыкладаў так званай квантавай пены і гравітацыйным аналагам віртуальных электрон-пазітроных пар у квантавай электрадынаміцы.

З’яўленне віртуальных чорных дзюр на планкаўскам маштабе з’яўляецца следствам суадносін нявызначанасцяў

≥

ℓ

ℏ G

{\displaystyle \Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar G}{c^{3}}}}

$\{\displaystyle \Delta R_\{\mu \}\Delta x_\{\mu \}\geq \ell _\{P\}^\{2\}=\{\frac \{\hbar G\}\{c^\{3\}\}\}\}$ дзе

{\displaystyle R_{\mu }}

$\{\displaystyle R_\{\mu \}\}$ — кампанента радыуса крывізны малой вобласці прасторы-часу;

{\displaystyle x_{\mu }}

$\{\displaystyle x_\{\mu \}\}$ — каардыната малой вобласці;

ℓ

{\displaystyle \ell _{P}}

$\{\displaystyle \ell _\{P\}\}$ — планкаўская даўжыня;

ℏ

{\displaystyle \hbar }

$\{\displaystyle \hbar \}$ — пастаянная Планка;

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана;

{\displaystyle c}

$\{\displaystyle c\}$ — хуткасць святла. Названыя суадносіны нявызначанасцяў з’яўляюцца іншай формай суадносін нявызначанасцяў Гейзенберга ў дачыненні да планкаўскага маштабу.

Доказ

На самай справе, названыя суадносіны нявызначанасцяў можна атрымаць, зыходзячы з ўраўнанняў Эйнштэйна

$\{\displaystyle G_\{\mu \nu \}+\Lambda g_\{\mu \nu \}=\{8\pi G \over c^\{4\}\}T_\{\mu \nu \}\}$

дзе

μ ν

−

R 2

μ ν

{\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }}

$\{\displaystyle G_\{\mu \nu \}=R_\{\mu \nu \}-\{R \over 2\}g_\{\mu \nu \}\}$ - тэнзар Эйнштэйна, які аб’ядноўвае тэнзар Рычы, скалярную крывізну і метрычны тэнзар,

μ ν

{\displaystyle R_{\mu \nu }}

$\{\displaystyle R_\{\mu \nu \}\}$ - тэнзар Рычы, які атрымліваецца з тэнзара крывізны прасторы-часу

a b c d

{\displaystyle R_{abcd}}

$\{\displaystyle R_\{abcd\}\}$ пасродкам свёрткi яго па пары індэксаў,

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ - скалярная крывізна, гэта значыць згорнуты тэнзар Рычы,

μ ν

{\displaystyle g_{\mu \nu }}

$\{\displaystyle g_\{\mu \nu \}\}$ - метрычны тэнзар,

{\displaystyle \Lambda }

$\{\displaystyle \Lambda \}$ - касмалагічная пастаянная, а

μ ν

{\displaystyle T_{\mu \nu }}

$\{\displaystyle T_\{\mu \nu \}\}$ ўяўляе сабой тэнзар энергіі-імпульсу матэрыі,

{\displaystyle \pi }

$\{\displaystyle \pi \}$ - лік пі,

{\displaystyle c}

$\{\displaystyle c\}$ - хуткасць святла ў вакууме,

{\displaystyle G}

$\{\displaystyle G\}$ - гравітацыйная пастаянная Ньютана.

Пры вывадзе сваіх ўраўнанняў Эйнштэйн выказаў здагадку, што фізічная прастора-час з’яўляецца рымановым, г.зн. скрыўленым. Малая вобласць рымановай прасторы блізкая да плоскай прасторы.

Для любога тэнзарнага поля

μ ν . . .

{\displaystyle N_{\mu \nu …}}

$\{\displaystyle N_\{\mu \nu …\}\}$ велічыню

μ ν . . .

− g

{\displaystyle N_{\mu \nu …}{\sqrt {-g}}}

$\{\displaystyle N_\{\mu \nu …\}\{\sqrt \{-g\}\}\}$ можна назваць тэнзарнай шчыльнасцю, дзе

{\displaystyle g}

$\{\displaystyle g\}$ - вызначальнік метрычнага тэнзара

μ ν

{\displaystyle g_{\mu \nu }}

$\{\displaystyle g_\{\mu \nu \}\}$ . Калі вобласць інтэгравання малая,

∫

μ ν . . .

− g

{\displaystyle \int N_{\mu \nu …}{\sqrt {-g}},d^{4}x}

$\{\displaystyle \int N_\{\mu \nu …\}\{\sqrt \{-g\}\}\,d^\{4\}x\}$ з’яўляецца тэнзарам. Калі вобласць інтэгравання ня малая, то гэты інтэграл не будзе тэнзарам, бо ўяўляе сабой суму тэнзараў, зададзеных ў розных кропках і, такім чынам, не пераўтворыцца па якім-небудзь простаму законе пры пераўтварэннях каардынатаў [2]. Тут разглядаюцца толькі малыя вобласці. Вышэйсказанае справядліва і пры інтэграванні па трохмернай гiперпаверхнi

{\displaystyle S^{\nu }}

$\{\displaystyle S^\{\nu \}\}$ .

Такім чынам, ўраўнанні Эйнштэйна для малой вобласці псевдарыманавай прасторы-часу можна праiнтэграваць па трохмернай гiперпаверхнi

{\displaystyle S^{\nu }}

$\{\displaystyle S^\{\nu \}\}$ . Маем [3]

4 π

∫

(

μ ν

)

− g

2 G

∫

μ ν

− g

{\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}},dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}},dS^{\nu }}

$\{\displaystyle \{\frac \{1\}\{4\pi \}\}\int \left(G_\{\mu \nu \}+\Lambda g_\{\mu \nu \}\right)\{\sqrt \{-g\}\}\,dS^\{\nu \}=\{2G \over c^\{4\}\}\int T_\{\mu \nu \}\{\sqrt \{-g\}\}\,dS^\{\nu \}\}$ Так як інтэгруемая вобласць прасторы-часу малая, атрымліваем тэнзарнае ўраўнанне

$\{\displaystyle R_\{\mu \}=\{\frac \{2G\}\{c^\{3\}\}\}P_\{\mu \}\}$

дзе

1 c

∫

μ ν

− g

{\displaystyle P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}},dS^{\nu }}

$\{\displaystyle P_\{\mu \}=\{\frac \{1\}\{c\}\}\int T_\{\mu \nu \}\{\sqrt \{-g\}\}\,dS^\{\nu \}\}$ - 4-імпульс; i

4 π

∫

(

μ ν

)

− g

{\displaystyle R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}},dS^{\nu }}

$\{\displaystyle R_\{\mu \}=\{\frac \{1\}\{4\pi \}\}\int \left(G_\{\mu \nu \}+\Lambda g_\{\mu \nu \}\right)\{\sqrt \{-g\}\}\,dS^\{\nu \}\}$ - радыус крывізны малой вобласці прасторы-часу.

Атрыманае тэнзарнае ўраўнанне можна перапісаць у іншым выглядзе. Так як

= m c

{\displaystyle P_{\mu }=mc,U_{\mu }}

$\{\displaystyle P_\{\mu \}=mc\,U_\{\mu \}\}$ то

2 G

m c

{\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc,U_{\mu }=r_{g},U_{\mu }}

$\{\displaystyle R_\{\mu \}=\{\frac \{2G\}\{c^\{3\}\}\}mc\,U_\{\mu \}=r_\{g\}\,U_\{\mu \}\}$ дзе

{\displaystyle r_{g}}

$\{\displaystyle r_\{g\}\}$ - радыус Шварцшыльда,

{\displaystyle U_{\mu }}

$\{\displaystyle U_\{\mu \}\}$ - 4-хуткасць,

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ - гравітацыйная маса. Гэтая запіс раскрывае фізічны сэнс велічынь

{\displaystyle R_{\mu }}

$\{\displaystyle R_\{\mu \}\}$ як кампанент гравітацыйнага радыусу

{\displaystyle r_{g}}

$\{\displaystyle r_\{g\}\}$ .

У малой вобласці прастора-час практычна плоскi і гэта ўраўнанне можна напісаць у аператарным выглядзе

R ^

2 G

P ^

2 G

( − i ℏ )

∂

= − 2 i

ℓ

∂

{\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}

$\{\displaystyle \{\hat \{R\}\}\{\mu \}=\{\frac \{2G\}\{c^\{3\}\}\}\{\hat \{P\}\}\{\mu \}=\{\frac \{2G\}\{c^\{3\}\}\}(-i\hbar )\{\frac \{\partial \}\{\partial x^\{\mu \}\}\}=-2i\,\ell _\{P\}^\{2\}\{\frac \{\partial \}\{\partial x^\{\mu \}\}\}\}$ або асноўнае ўраўнанне квантавай гравітацыі

Ураўнанне квантавай гравітацыі ^[3]

$\{\displaystyle -2i\ell _\{P\}^\{2\}\{\frac \{\partial \}\{\partial x^\{\mu \}\}\}|\Psi (x_\{\mu \})\rangle =\{\hat \{R\}\}_\{\mu \}|\Psi (x_\{\mu \})\rangle \}$

Тады камутатар аператараў

R ^

{\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }}

$\{\displaystyle \{\hat \{R\}\}_\{\mu \}\}$ і

x ^

{\displaystyle {\hat {x}}_{\mu }}

$\{\displaystyle \{\hat \{x\}\}_\{\mu \}\}$ роўны

[

R ^

x ^

]

− 2 i

ℓ

{\displaystyle [{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}}

$\{\displaystyle [\{\hat \{R\}\}\{\mu \},\{\hat \{x\}\}\{\mu \}]=-2i\ell _\{P\}^\{2\}\}$ Адкуль вынікаюць вышэйпаказаныя суадносіны нявызначанасцяў

$\{\displaystyle \Delta R_\{\mu \}\Delta x_\{\mu \}\geq \ell _\{P\}^\{2\}\}$

Падстаўляючы сюды значэння

2 G

{\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m,c,U_{\mu }}

$\{\displaystyle R_\{\mu \}=\{\frac \{2G\}\{c^\{3\}\}\}m\,c\,U_\{\mu \}\}$ і

ℓ

ℏ

{\displaystyle \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar ,G}{c^{3}}}}

$\{\displaystyle \ell _\{P\}^\{2\}=\{\frac \{\hbar \,G\}\{c^\{3\}\}\}\}$ і скарачаючы справа і злева аднолькавыя сімвалы, атрымліваем суадносіны нявызначанасцяў Гейзенберга.

= Δ ( m c

) Δ

≥

ℏ 2

{\displaystyle \Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}}

$\{\displaystyle \Delta P_\{\mu \}\Delta x_\{\mu \}=\Delta (mc\,U_\{\mu \})\Delta x_\{\mu \}\geq \{\frac \{\hbar \}\{2\}\}\}$ У прыватным выпадку статычнага сферычна сіметрычнага поля і статычнага размеркавання матэрыі маем

= 1 ;

= 0

( i

1 , 2 , 3 )

{\displaystyle U_{0}=1;U_{i}=0,(i=1,2,3)}

$\{\displaystyle U_\{0\}=1;U_\{i\}=0\,(i=1,2,3)\}$ і застаецца

= Δ

Δ r ≥

ℓ

{\displaystyle \Delta {R_{0}}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}

$\{\displaystyle \Delta \{R_\{0\}\}\Delta x_\{0\}=\Delta r_\{g\}\Delta r\geq \ell _\{P\}^\{2\}\}$ дзе

{\displaystyle r_{g}}

$\{\displaystyle r_\{g\}\}$ - радыус Шварцшыльда,

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ - радыяльная каардыната. Тут

{\displaystyle R_{0}=r_{g}}

$\{\displaystyle R_\{0\}=r_\{g\}\}$ , а

= c

t

{\displaystyle x_{0}=c,t=r}

$\{\displaystyle x_\{0\}=c\,t=r\}$ , бо на планкаўскам узроўні матэрыя рухаецца з хуткасцю святла. Апошнiя суадносіны нявызначанасцяў дазвалюць рабіць некаторыя ацэнкі ўраўнанняў агульнай тэорыi адноснасцi ў дачыненні да планкоўскага маштаба. Напрыклад, выраз для інварыянтнай інтэрвалу

d S

{\displaystyle dS}

$\{\displaystyle dS\}$ у вырашэнні Шварцшыльда мае выгляд

(

1 −

)

−

1 −

−

( d

sin

⁡ Ω d

)

{\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}

$\{\displaystyle dS^\{2\}=\left(1-\{\frac \{r_\{g\}\}\{r\}\}\right)c^\{2\}dt^\{2\}-\{\frac \{dr^\{2\}\}\{1-\{r_\{g\}\}/\{r\}\}\}-r^\{2\}(d\Omega ^\{2\}+\sin ^\{2\}\Omega d\varphi ^\{2\})\}$ Падстаўляючы сюды, згодна суадносінам нявызначанасцяў, замест

{\displaystyle r_{g}}

$\{\displaystyle r_\{g\}\}$ велічыню

≈

ℓ

{\displaystyle r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r}

$\{\displaystyle r_\{g\}\approx \ell _\{P\}^\{2\}/r\}$ атрымаем

≈

(

1 −

ℓ

)

−

1 −

ℓ

−

( d

sin

⁡ Ω d

)

{\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}

$\{\displaystyle dS^\{2\}\approx \left(1-\{\frac \{\ell _\{P\}^\{2\}\}\{r^\{2\}\}\}\right)c^\{2\}dt^\{2\}-\{\frac \{dr^\{2\}\}\{1-\{\ell _\{P\}^\{2\}\}/\{r^\{2\}\}\}\}-r^\{2\}(d\Omega ^\{2\}+\sin ^\{2\}\Omega d\varphi ^\{2\})\}$ Відаць, што на планкаўскам узроўні

r

ℓ

{\displaystyle r=\ell _{P}}

$\{\displaystyle r=\ell _\{P\}\}$ інварыянтнай інтэрвал

d S

{\displaystyle dS}

$\{\displaystyle dS\}$ абмежаваны знізу планкаўской даўжынёй, на гэтым маштабе з’яўляецца дзяленне на нуль, што азначае стварэнне рэальных і віртуальных планкаўскiх чорных дзюр.

Аналагічныя ацэнкі можна выканаць і для іншых ўраўнанняў агульнай тэорыi адноснасці.

Выпісаныя вышэй суадносіны нявызначанасцяў справядлівыя для любых гравітацыйных палёў.

Паводле ацэнак фізікаў-тэарэтыкаў [4], віртуальныя чорныя дзіркі павінны мець масу парадку масы Планка, час жыцця парадку планкаўскага часу, і утварацца з шчыльнасцю парадку аднаго асобніка на аб’ём Планка. Пры гэтым, калі віртуальныя чорныя дзіркі існуюць, яны могуць запускаць механізм распаду пратона. Паколькі маса чорнай дзіркі спачатку павялічваецца дзякуючы падзення масы на чорную дзірку, а затым памяншаецца з-за выпраменьвання Хокінга, то выпусканыя элементарныя часціцы, увогуле выпадку, не ідэнтычныя тым, якія падаюць у чорную дзірку. Такім чынам, калі ў віртуальную чорную дзірку трапляюць два кварка, складнікі пратона, то магчыма з’яўленне антикварка і лептона, што парушае закон захавання барионнага ліка [4].

Існаванне віртуальных чорных дзюр пагаршае знікненне інфармацыі ў чорнай дзюры, так як любы фізічны працэс патэнцыйна можа быць парушаны ў выніку ўзаемадзеяння з віртуальнай чорнай дзіркай [5].

Стварэнне вакуума, які складаецца з віртуальных планкаўскiх чорных дзюр (квантавай пены), энергетычна найбольш выгадна ў трохмернай прасторы [6], што, магчыма, абумовіла 4-мернасць назіранага прасторы-часу.

Зноскі

↑ S.W.Hawking(1995) «Virtual Black Holes»
↑ П.А.М.Дирак Агульная тэорыя адноснасці, М., Атомиздат,1978, с.39
1 2 A.P.Klimets, Philosophy Documentation Center, Western University-Canada, 2017, pp.25-32
1 2 Fred C. Adams, Gordon L. Kane, Manasse Mbonye, and Malcolm J. Perry (2001), .16.2399A Proton Decay, Black Holes, and Large Extra Dimensions, Intern. J. Mod. Phys. A , ‘16’ , 2399.
↑ The black hole information paradox, Steven B. Giddings, arXiv: hep-th / 9508151v1.
↑ A.P.Klimets FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23-42

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Квантавая гравітацыя
Катэгорыя·Чорныя дзіркі