wd wp Пошук: ⬜

Бэта-функцыя

У матэматыцы бэта-функцыяй (Β-функцыяй, бэта-функцыяй Эйлера або Эйлеравым інтэгралам I-га роду) называецца наступная спецыяльная функцыя ад двух зменных:

B

( x , y )

∫

0

1

t

x − 1

( 1 − t

)

y − 1

d t ,

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1},dt,}

вызначаная пры

ℜ ( x )

0 ,

{\displaystyle \Re (x)>0,}

ℜ ( y )

{\displaystyle \Re (y)>0.}

Бэта-функцыя была даследавана Эйлерам і Лежандрам, А назву ёй даў Жак Бінэ.

Уласцівасці

Бэта-функцыя сіметрычная адносна перастаноўкі зменных, гэта значыць

B

( x , y )

B

( y , x ) .

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).}

Бэта-функцыю можна выразіць праз іншыя функцыі:

B

( x , y )

Γ ( x ) Γ ( y )

Γ ( x + y )

,

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}

дзе

Γ ( x )

{\displaystyle \Gamma (x)}

— гама-функцыя;

B

( x , y )

2

∫

0

π

/

2

sin

2 x − 1

⁡ θ

cos

2 y − 1

⁡ θ

d θ ,

ℜ ( x )

0 ,   ℜ ( y )

0 ;

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta ,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0;}

B

( x , y )

∫

0

∞

t

x − 1

( 1 + t

)

x + y

d t ,

ℜ ( x )

0 ,   ℜ ( y )

0 ;

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}},dt,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0;}

B

( x , y )

1 y

∑

n

0

∞

( − 1

)

n

( y

)

n + 1

n ! ( x + n )

,

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}},}

дзе

( x

)

n

{\displaystyle (x)_{n}}

— сыходны фактарыял, роўны

x ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ … ⋅ ( x − n + 1 ) .

{\displaystyle x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1).}

Як гама-функцыя для цэлых лікаў з’яўляецца абагульненнем фактарыяла, так і бэта-функцыя з’яўляецца абагульненнем бінаміяльных каэфіцыентаў з трохі змененымі параметрамі:

C

n

k

=

1

( n + 1 )

B

( n − k + 1 , k + 1 )

.

{\displaystyle \mathrm {C} _{n}^{k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}

Вытворныя

Частковыя вытворныя у бэта-функцыі наступныя:

∂

∂ x

B

( x , y )

B

( x , y )

(

Γ

′

( x )

Γ ( x )

−

Γ

′

( x + y )

Γ ( x + y )

)

=

B

( x ,

y ) ( ψ ( x ) − ψ ( x + y ) ) ,

{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma ^{\prime }(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma ^{\prime }(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,;y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}

дзе

ψ ( x )

{\displaystyle \psi (x)}

— дыгама-функцыя.

Няпоўная бэта-функцыя

Няпоўная бэта-функцыя — гэта абагульненне бэта-функцыі, якое замяняе інтэграл па адрэзку

[ 0 , 1 ]

{\displaystyle [0,1]}

на інтэграл з пераменнай верхняй мяжой:

B

x

( a , b )

∫

0

x

t

a − 1

( 1 − t

)

b − 1

d t .

{\displaystyle \mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1},(1-t)^{b-1},dt.}

Пры

x

1

{\displaystyle x=1}

няпоўная бэта-функцыя супадае з поўнай.

Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя вызначаецца праз поўную і няпоўную бэта-функцыі:

I

x

( a , b )

B

x

( a , b )

B

( a , b )

.

{\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}

Уласцівасці рэгулярызаванай няпоўнай бэта-функцыі

I

0

( a , b )

0 ;

{\displaystyle I_{0}(a,b)=0;}

I

1

( a , b )

1 ;

{\displaystyle I_{1}(a,b)=1;}

I

x

( a , b )

1 −

I

1 − x

( b , a ) ;

{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a);}

I

x

( a + 1 , b )

I

x

( a , b ) −

x

a

( 1 − x

)

b

a B ( a , b )

.

{\displaystyle I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}.}

Гл. таксама

• Гама-функцыя
• Леанард Эйлер

Літаратура

• Битюцков В. И. Бета-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Beta Function(англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Спецыяльныя функцыі