wd wp Пошук: ⬜

Артаганальная група

Артаганальная група — група ўсіх лінейных пераўтварэнняў

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ -мернай вектарнай прасторы

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ над полем

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ , якія захоўваюць фіксаваную невыраджаную квадратычную форму

{\displaystyle Q}

$\{\displaystyle Q\}$ на

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ (гэта значыць такіх лінейных пераўтварэнняў

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ , што

Q ( φ ( v ) )

Q ( v )

{\displaystyle Q(\varphi (v))=Q(v)}

$\{\displaystyle Q(\varphi (v))=Q(v)\}$ для любога

v ∈ V

{\displaystyle v\in V}

$\{\displaystyle v\in V\}$ ).

Абазначэнні і звязаныя вызначэнні

Элементы артаганальнай групы называюцца артаганальнымі (адносна

{\displaystyle Q}

$\{\displaystyle Q\}$ ) пераўтварэннямі

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ , а таксама аўтамарфізмамі формы

{\displaystyle Q}

$\{\displaystyle Q\}$ (дакладней, аўтамарфізмамі прасторы

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ адносна формы

{\displaystyle Q}

$\{\displaystyle Q\}$ ).

Абазначаецца

{\displaystyle O_{n}}

$\{\displaystyle O_\{n\}\}$ ,

( k )

{\displaystyle O_{n}(k)}

$\{\displaystyle O_\{n\}(k)\}$ ,

( Q )

{\displaystyle O_{n}(Q)}

$\{\displaystyle O_\{n\}(Q)\}$ і т. п. Калі квадратычная форма не абазначана відавочна, то маецца на ўвазе форма, якая задаецца сумай квадратаў каардынат, г. зн. якая выражаецца адзінкавай матрыцай.

Над полем рэчаісных лікаў, артаганальная група незнакавызначай формы з сігнатурай (

{\displaystyle l}

$\{\displaystyle l\}$ плюсаў,

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ мінусаў) дзе

n

l + m

{\displaystyle n=l+m}

$\{\displaystyle n=l+m\}$ , абазначаецца O(

{\displaystyle l}

$\{\displaystyle l\}$ ,

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ .

Уласцівасці

У выпадку, калі характарыстыка асноўнага поля больш за два, то з

{\displaystyle Q}

$\{\displaystyle Q\}$ звязана невыраджаная сіметрычная білінейная форма

{\displaystyle F}

$\{\displaystyle F\}$ на

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ , якая выражаецца формулай

F ( u ,

v )

Q ( u + v ) − Q ( u ) − Q ( v ) .

{\displaystyle F(u,;v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v).}

$\{\displaystyle F(u,\;v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v).\}$

Тады артаганальная група складаецца ў дакладнасці з тых лінейных пераўтварэнняў прасторы

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ , якія захоўваюць

{\displaystyle F}

$\{\displaystyle F\}$ , і абазначаецца праз

( k ,

F )

{\displaystyle O_{n}(k,;F)}

$\{\displaystyle O_\{n\}(k,\;F)\}$ або (калі ясна аб якім полі

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ і форме

{\displaystyle F}

$\{\displaystyle F\}$ ідзе гаворка) проста праз

{\displaystyle O_{n}}

$\{\displaystyle O_\{n\}\}$ .

Калі

{\displaystyle B}

$\{\displaystyle B\}$ — матрыца формы

{\displaystyle F}

$\{\displaystyle F\}$ ў нейкім базісе прасторы

{\displaystyle V}

$\{\displaystyle V\}$ , то артаганальная група можа быць атаясамлена з групай ўсіх такіх матрыц

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ з каэфіцыентамі ў

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ , што

B A

B .

{\displaystyle A^{T}BA=B.}

$\{\displaystyle A^\{T\}BA=B.\}$ У прыватнасці, калі базіс такі, што

{\displaystyle Q}

$\{\displaystyle Q\}$ з’яўляецца сумай квадратаў каардынат (гэта значыць, матрыца

{\displaystyle B}

$\{\displaystyle B\}$ адзінкавая), то такія матрыцы

{\displaystyle A}

$\{\displaystyle A\}$ называюцца артаганальнымі.

Над полем рэчаісных лікаў, група

(

V )

{\displaystyle O_{n}({\mathbb {R} },;V)}

$\{\displaystyle O_\{n\}(\{\mathbb \{R\} \},\;V)\}$ кампактная тады і толькі тады, калі форма

{\displaystyle Q}

$\{\displaystyle Q\}$ знакавызначана.

Іншыя групы

Артаганальная група з’яўляецца падгрупай поўнай лінейнай групы GL(

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ ). Элементы артаганальнай групы, вызначнік якіх роўны 1 (гэта ўласцівасць не залежыць ад базісу), утвараюць падгрупу — спецыяльную артаганальную групу

S O ( n , Q )

{\displaystyle SO(n,Q)}

$\{\displaystyle SO(n,Q)\}$ , якая абазначае гэтак жа як і артаганальную групу але з даданнем літары «S».

S O ( n , Q )

{\displaystyle SO(n,Q)}

$\{\displaystyle SO(n,Q)\}$ , па пабудове, з’яўляецца таксама падгрупай спецыяльнай лінейнай групы

S L ( n )

{\displaystyle SL(n)}

$\{\displaystyle SL(n)\}$ .

Гл. таксама

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Групы Лі