wd wp Пошук: ⬜

Формула Стырлінга

У матэматыцы формула Стырлінга (таксама формула Муаўра — Стырлінга) — формула для прыбліжанага вылічэння фактарыяла і гама-функцыі. Названа ў гонар Джеймса Стырлінга і Абрахама дэ Муаўра, апошні лічыцца аўтарам формулы.[1]

Найбольш ужывальны варыянт формулы:

ln ⁡ Γ ( n + 1 )

ln ⁡ n !

n ln ⁡ n − n + O ( ln ⁡ ( n ) )  

{\displaystyle \ln \Gamma (n+1)=\ln n!=n\ln n-n+O(\ln(n))\ }

Наступны член у O(log(n)) — гэта 1⁄2ln(2πn); такім чынам больш дакладнае прыбліжэнне:

lim

n → ∞

n !

2 π n

(

n e

)

n

= 1 ,

{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}},\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1,}

што раўназначна

n ! ∼

2 π n

(

n e

)

n

.

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}

Формула Стырлінга з’яўляецца першым прыбліжэннем пры раскладанні фактарыяла ў рад Стырлінга:

n !

∼

2 π n

(

n e

)

n

(

1 +

1

12 n

1

288

n

2

−

139

51840

n

3

−

571

2488320

n

4

⋯

)

=

2 π n

(

n e

)

n

(

1 +

1

(

2

1

) ( 6 n

)

1

1

(

2

3

) ( 6 n

)

2

−

139

(

2

3

) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n

)

3

−

−

571

(

2

6

) ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) ( 6 n

)

4

⋯

)

.

{\displaystyle {\begin{aligned}n!&\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)\&={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{(2^{1})(6n)^{1}}}+{1 \over (2^{3})(6n)^{2}}-{139 \over (2^{3})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{3}},-\right.\&\qquad \left.-,{571 \over (2^{6})(2\cdot 3\cdot 5)(6n)^{4}}+\cdots \right).\end{aligned}}}

Зноскі

1. ↑ Pearson, Karl. Historical note on the origin of the normal curve of errors. 16. 402–404 [p. 403]. : «Стырлінг толькі паказаў, што арыфметычная сталая ў формуле Муаўра роўная

2 π

{\displaystyle {\sqrt {2\pi }}}

. Я лічу, што гэта не робіць яго аўтарам тэарэмы».

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Тэорыя прыбліжэнняў
Катэгорыя·Аналітычная тэорыя лікаў