wd wp Пошук: ⬜

Ураўненне Паўлі

Ураўненне Паўлі — ураўненне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным полі. Прапанавана Вольфгангам Паўлі ў 1927 годзе. Не блытаць з асноўным кінетычным ураўненнем [ru], якое таксама часам называюць ураўненнем Паўлі.

Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, які прымаецца звычайна за вось z. У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы

ψ ( r , t )

{\displaystyle \psi (r,t)}

$\{\displaystyle \psi (r,t)\}$ (дзе r — каардыната часціцы, t — час) з’яўляецца двухкампанентнай:

ψ ( r , t )

(

( r , t )

)

{\displaystyle \psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(r,t)\\psi _{2}(r,t)\end{pmatrix}}.}

$\{\displaystyle \psi (r,t)=\{\begin\{pmatrix\}\psi _\{1\}(r,t)\\\psi _\{2\}(r,t)\end\{pmatrix\}\}.\}$ Пры паваротах каардынатных восей

{\displaystyle \psi _{1}}

$\{\displaystyle \psi _\{1\}\}$ i

{\displaystyle \psi _{2}}

$\{\displaystyle \psi _\{2\}\}$ пераўтвараюцца як кампаненты спінара. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак

{\displaystyle \psi }

$\{\displaystyle \psi \}$ i

ψ ′

{\displaystyle \psi ‘}

$\{\displaystyle \psi ‘\}$ мае выгляд

(

ψ ′

, ψ )

∫ (

′

) d r .

{\displaystyle (\psi ‘,\psi )=\int (\psi ‘_{1}\psi _{1}+\psi ‘_{2}\psi _{2})dr.}

$\{\displaystyle (\psi ‘,\psi )=\int (\psi ‘_\{1\}\psi \{1\}+\psi ‘\{2\}\psi _\{2\})dr.\}$ Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.

У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з ненулявым спінавым момантам

s →

{\displaystyle {\vec {s}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{s\}\}\}$ валодае і магнітным момантам, прапарцыянальным

s →

{\displaystyle {\vec {s}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{s\}\}\}$ :

μ →

= g

s →

{\displaystyle {\vec {\mu }}=g{\vec {s}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{\mu \}\}=g\{\vec \{s\}\}\}$ (g — гірамагнітныя адносіны). Для арбітальнага моманту

g

2 m c

{\displaystyle g={e \over 2mc}}

$\{\displaystyle g=\{e \over 2mc\}\}$ , дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі:

g

m c

{\displaystyle g={e \over mc}}

$\{\displaystyle g=\{e \over mc\}\}$ . У вонкавым магнітным полі напружанасці

B →

{\displaystyle {\vec {B}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{B\}\}\}$ магнітны момант валодае патэнцыяльнай энергіяй

U

−

μ →

B →

{\displaystyle U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}}

$\{\displaystyle U=-\{\vec \{\mu \}\}\ \{\vec \{B\}\}\}$ , дабаўленне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі

{\displaystyle \phi }

$\{\displaystyle \phi \}$ і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі:

i ℏ

∂ ψ

∂ t

[

2 m

(

p ^

−

e c

I ^

)

e φ

I ^

−

e ℏ

2 m c

(

σ ^

B →

)

]

ψ ,

{\displaystyle i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H}}}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p}}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\sigma }}{\vec {B}})\right]\psi ,}

$\{\displaystyle i\hbar \{\partial \psi \over \partial t\}=\{\{\hat \{\mathcal \{H\}\}\}\psi \ \}=\left[\{1 \over 2m\}(\{\hat \{p\}\}-\{e \over c\}A\{\hat \{I\}\})^\{2\}+e\varphi \{\hat \{I\}\}-\{\{e\hbar \} \over 2mc\}(\{\hat \{\sigma \}\}\{\vec \{B\}\})\right]\psi ,\}$ дзе

p ^

{\displaystyle {\hat {p}}}

$\{\displaystyle \{\hat \{p\}\}\}$ — аператар імпульсу,

I ^

{\displaystyle {\hat {I}}}

$\{\displaystyle \{\hat \{I\}\}\}$ — адзінкавы аператар, а

σ ^

{\displaystyle {\hat {\sigma }}}

$\{\displaystyle \{\hat \{\sigma \}\}\}$ прапарцыянальны аператару спіна:

s ^

ℏ 2

σ ^

{\displaystyle {\hat {s}}={\hbar \over 2}{\hat {\sigma }}}

$\{\displaystyle \{\hat \{s\}\}=\{\hbar \over 2\}\{\hat \{\sigma \}\}\}$ .

Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцкі-інварыянтнага ўраўнення Дзірака ў слабарэлятывісцкім прыбліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па адваротных ступенях скорасці святла.

Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд

ψ ( r , t )

Φ ( r , t ) χ ( t )

{\displaystyle \psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)}

$\{\displaystyle \psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)\}$ , дзе

Φ ( r , t )

{\displaystyle \Phi (r,t)}

$\{\displaystyle \Phi (r,t)\}$ — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ўраўненню Шродзінгера, а спінар

χ

(

)

{\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\chi _{2}\end{pmatrix}}}

$\{\displaystyle \chi =\{\begin\{pmatrix\}\chi _\{1\}\\\chi _\{2\}\end\{pmatrix\}\}\}$ задавальняе ўраўненню

i ℏ

∂ χ

∂ t

= −

e ℏ

2 m c

( σ

B →

) χ .

{\displaystyle i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B}})\chi .}

$\{\displaystyle i\hbar \{\partial \chi \over \partial t\}=-\{\{e\hbar \} \over 2mc\}(\sigma \{\vec \{B\}\})\chi .\}$ З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна

⟨ s ⟩

ℏ 2

( χ + σ χ )

{\displaystyle \langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )}

$\{\displaystyle \langle s\rangle =~\{\hbar \over 2\}(\chi +\sigma \chi )\}$ прэцэсіруе вакол напрамку магнітнага поля:

d t

⟨ s ⟩

−

[

n →

⟨ s ⟩ ] .

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega _{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].}

$\{\displaystyle \{\frac \{d\}\{dt\}\}\langle s\rangle =-\omega _\{B\}[\{\vec \{n\}\}\langle s\rangle ].\}$ Тут

e B

m c

{\displaystyle \omega _{B}={eB \over mc}}

$\{\displaystyle \omega _\{B\}=\{eB \over mc\}\}$ — цыклатронная частата,

n →

{\displaystyle {\vec {n}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{n\}\}\}$ — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля.

На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне ўзроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па адваротных ступенях скорасці святла.

Гл. таксама

Літаратура

Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с., параграф 62.
Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с., параграф 63.
Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика, 2002.
Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Квантавая механіка
Катэгорыя·Фізічныя законы і ўраўненні
Катэгорыя·Фізіка элементарных часціц