Ураўненне Кеплера апісвае рух цела па эліптычнай арбіце ў задачы двух цел і мае выгляд:
M
{\displaystyle ~E-\varepsilon \sin E=M}
дзе
E
{\displaystyle E}
- эксцэнтрычная анамалія,
ε
{\displaystyle \varepsilon }
M
{\displaystyle M}
- сярэдняя анамалія.
Упершыню гэта ўраўненне было атрымана астраномам Іаганам Кеплерам ў 1619 годзе. Адыгрывае значную ролю ў нябеснай механіцы.
Ураўненне Кеплера ў класічнай форме апісвае рух толькі па эліптычных арбітах, гэта значыць пры 0 ≤ ε <1. Рух па гіпербалічнай арбітах (ε > 1) падпарадкоўваецца гіпербалічнаму ўраўненні Кеплера, падобныя па форме з класічным. Рух па прамой лініі (ε = 1) апісваецца радыяльным ураўненнем Кеплера. Нарэшце, для апісання руху па парабалічнай арбіце (ε = 1) выкарыстаюць ураўненне Баркера. Пры ε < 0 арбіт не існуе.
Разгледзім рух цела па арбіце ў поле іншага цела. Знойдзем залежнасць становішча цела на арбіце ад часу. З II закона Кеплера вынікае, што
r
2
d υ
d t
μ a
(
1 −
ε
2
)
{\displaystyle r^{2}{\frac {d\upsilon }{dt}}=const={\sqrt {\mu a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}}}
.
Тут r - адлегласць ад да цела ад цэнтра, які гравітуе, υ - сапраўдная анамалія - вугал паміж напрамкамі на перыцэнтр арбіты і на цела, μ = GM0 - твор пастаяннага прыцягнення на масу цела, якое гравітуе, a - вялікая паўвось арбіты. Адсюль можна атрымаць залежнасць часу руху па арбіце ад сапраўднай анамаліі:
t −
t
p
=
1
μ a
(
1 −
ε
2
)
∫
0
υ
r
2
d υ
{\displaystyle t-t_{p}={\frac {1}{\sqrt {\mu a\left(1-\varepsilon ^{2}\right)}}}\int \limits _{0}^{\upsilon }r^{2}d\upsilon }
.
Тут tp - час праходжанне праз перыцэнтр.
Далейшае рашэнне задачы залежыць ад тыпу арбіты, па якой рухаецца цела.
Рашэнне ўраўнення Кеплера ў эліптычнаму і гіпербалічнаму выпадках існуе і адзіна пры любых рэчыўных M. Для кругавой арбіты (ε = 0) ураўненне Кеплера прымае трывіяльны выгляд М = E. У агульным выглядзе ўраўненне Кеплера трансцэндэнтнае, яно не вырашаецца ў алгебраічных функцыях. Аднак, яго рашэнне можна знайсці рознымі спосабамі з дапамогай збежных шэрагаў. Агульнае рашэнне ўраўнення Кеплера можна запісаць з дапамогай шэрагаў Фур’е:
M + 2 ⋅
∑
1
n
1 n
J
n
(
n ε
)
⋅ sin
n M
{\displaystyle E=M+2\cdot \sum _{n=1}^{n}{\frac {1}{n}}J_{n}\left(n\varepsilon \right)\cdot \sin {nM}}
,
дзе
J
m
( x )
=
1 π
∫
0
π
cos
(
m E − x sin
E
)
d E
{\displaystyle J_{m}\left(x\right)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\cos \left(mE-x\sin {E}\right)dE}
— функцыя Бессэля.
Гэты шэраг сыходзіцца, калі велічыня ε не перавышае значэнні мяжы Лапласа.
Сярод лікавых метадаў рашэння ўраўнення Кеплера часта выкарыстоўваюцца метад нерухомай кропкі («метад простай ітэрацыі») і метад Ньютана. Для эліптычнага выпадку ў метадзе нерухомай кропкі за пачатковае значэнне E0 можна ўзяць M, а паслядоўныя набліжэння маюць наступны выгляд:
E
n + 1
= ε sin
E
n
M
{\displaystyle E_{n+1}=\varepsilon \sin E_{n}+M}
У гіпербалічных выпадку метад нерухомай кропкі падобным чынам выкарыстаць нельга, аднак гэты метад дае магчымасць вывесці для такога выпадку іншую формулу набліжэнняў (з гіпербалічным арксінусам):
H
n + 1
= Arsh
H
n
M
ε
{\displaystyle H_{n+1}=\operatorname {Arsh} {\frac {H_{n}+M}{\varepsilon }}}