wd wp Пошук: ⬜

Першаісная

Першаі́сная[1] функцыі f(x) − такая функцыя F(x), вытворная якой для ўсіх x з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі f(x), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

F ′

( x )

f ( x ) .

{\displaystyle F’(x)=f(x).}

$\{\displaystyle F’(x)=f(x).\}$ Сукупнасць усіх першаісных функцыі f(x) на прамежку (a,b) называецца нявы́значаным інтэгра́лам[1] і пазначаецца сімвалам

∫ f ( x )

d x .

{\displaystyle \int f(x),dx.}

$\{\displaystyle \int f(x)\,dx.\}$ Працэс знаходжання першаіснай называецца інтэграва́ннем.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла

Калі F(x) − першаісная функцыі f(x) на прамежку (a,b), то ўсякая першаісная функцыі f(x) на гэтым прамежку ма́е выгляд F(x) + C, дзе C - адвольная сталая [2].

Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай

Сувязь першаіснай з вытворнаю

(

∫ f ( x )

d x

)

′

= f ( x ) ,

{\displaystyle \left(\int f(x),dx\right)’=f(x),}

$\{\displaystyle \left(\int f(x)\,dx\right)’=f(x),\}$

∫

F ′

( x )

d x

F ( x ) + C .

{\displaystyle \int F’(x),dx=F(x)+C.}

$\{\displaystyle \int F’(x)\,dx=F(x)+C.\}$

Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам

(

∫ f ( x )

d x

)

= f ( x )

d x ,

{\displaystyle d\left(\int f(x),dx\right)=f(x),dx,}

$\{\displaystyle d\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx,\}$

∫ d ( F ( x ) )

F ( x ) + C .

{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C.}

$\{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C.\}$

Лінейнасць нявызначанага інтэграла

Няхай a ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады

∫ a

f ( x )

d x

a ∫ f ( x )

d x .

{\displaystyle \int a,f(x),dx=a\int f(x),dx.}

$\{\displaystyle \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.\}$

Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

∫ ( f ( x ) + g ( x ) )

d x

∫ f ( x )

d x + ∫ g ( x )

d x .

{\displaystyle \int (f(x)+g(x)),dx=\int f(x),dx+\int g(x),dx.}

$\{\displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.\}$

Сувязь з інтэгралам Рымана

Асноўны артыкул: формула Ньютана-Лейбніца

Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана. Няхай f(x) непарыўная на прамежку [a , b]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

F ( x )

∫

f ( t )

d t

{\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t),dt}

$\{\displaystyle F(x)=\int \limits _\{a\}^\{x\}f(t)\,dt\}$ ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b] [2].

Формула Ньютана-Лейбніца. Няхай F(x) ёсць першаіснаю функцыі f(x) на прамежку [a , b], тады праўдзіцца роўнасць

∫

f ( x )

d x

F ( b ) − F ( a ) ,

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x),dx=F(b)-F(a),}

$\{\displaystyle \int \limits _\{a\}^\{b\}f(x)\,dx=F(b)-F(a),\}$ называная формулай Ньютана-Лейбніца.

Асноўныя метады інтэгравання

Асноўны артыкул: Метады інтэгравання

Лінейныя пераўтварэнні

Метад раскладання. Калі

g ( x )

( x ) +

( x ) ,

{\displaystyle g(x)=g_{1}(x)+g_{2}(x),,}

$\{\displaystyle g(x)=g_\{1\}(x)+g_\{2\}(x),\,\}$ то

∫ g ( x )

d x

∫

( x )

d x + ∫

( x )

d x .

{\displaystyle \int g(x),dx=\int g_{1}(x),dx+\int g_{2}(x),dx.,}

$\{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g_\{1\}(x)\,dx+\int g_\{2\}(x)\,dx.\,\}$

Метад падстаноўкі

Увядзенне новага аргумента. Калі

∫ g ( x )

d x

G ( x ) + C ,

{\displaystyle \int g(x),dx=G(x)+C,,}

$\{\displaystyle \int g(x)\,dx=G(x)+C,\,\}$ то

∫ g ( u )

d u

G ( u ) + C ,

{\displaystyle \int g(u),du=G(u)+C,,}

$\{\displaystyle \int g(u)\,du=G(u)+C,\,\}$ дзе

u

φ ( x )

{\displaystyle u=\varphi (x),}

$\{\displaystyle u=\varphi (x)\,\}$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.

Метад падстаноўкі. Калі

g ( x )

{\displaystyle g(x)}

$\{\displaystyle g(x)\}$ — непарыўная, то, прымаючы

x

φ ( t ) ,

{\displaystyle x=\varphi (t),,}

$\{\displaystyle x=\varphi (t),\,\}$ дзе

φ ( t )

{\displaystyle \varphi (t),}

$\{\displaystyle \varphi (t)\,\}$ — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем

∫ g ( x )

d x

∫ g ( φ ( t ) )

φ ′

( t )

d t .

{\displaystyle \int g(x),dx=\int g(\varphi (t)),\varphi ‘(t),dt.}

$\{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g(\varphi (t))\,\varphi ‘(t)\,dt.\}$

Інтэграванне па частках

Метад інтэгравання па частках. Калі

{\displaystyle u}

$\{\displaystyle u\}$ і

{\displaystyle v}

$\{\displaystyle v\}$ — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад x, то

∫ u

d v

u v − ∫ v

d u .

{\displaystyle \int u,dv=uv-\int v,du.,}

$\{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\,\}$ Першаісная ў камплексным аналізе

Гл. таксама: Аналітычная функцыя

Функцыя f(z) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.
Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

∫

d t

= Ln ⁡ z

{\displaystyle \int \limits _{1}^{z}{\frac {dt}{t}}=\operatorname {Ln} z}

$\{\displaystyle \int \limits _\{1\}^\{z\}\{\frac \{dt\}\{t\}\}=\operatorname \{Ln\} z\}$ Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый

Асноўны артыкул: Спіс інтэгралаў У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй (тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная). Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы[3]:

∫

−

d x ,

∫ sin ⁡ (

)

d x ,

∫

d x ,

∫

sin ⁡ x

d x ,

∫

d x

ln ⁡ x

{\displaystyle \int e^{-x^{2}},dx,\qquad \int \sin(x^{2}),dx,\qquad \int {\frac {e^{x}}{x}},dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}},dx,\qquad \int {\frac {dx}{\ln x}}.}

$\{\displaystyle \int e^\{-x^\{2\}\}\,dx,\qquad \int \sin(x^\{2\})\,dx,\qquad \int \{\frac \{e^\{x\}\}\{x\}\}\,dx,\qquad \int \{\frac \{\sin x\}\{x\}\}\,dx,\qquad \int \{\frac \{dx\}\{\ln x\}\}.\}$ У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый[2][3]:

∫ 0

d x

C ;

{\displaystyle \int 0,dx=C;}

$\{\displaystyle \int 0\,dx=C;\}$

∫ 1

d x

x + C ;

{\displaystyle \int 1,dx=x+C;}

$\{\displaystyle \int 1\,dx=x+C;\}$

∫

d x

α + 1

C ,

( α ≠ − 1 ) ;

{\displaystyle \int x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\qquad (\alpha \neq -1);,}

$\{\displaystyle \int x^\{\alpha \}dx=\{\frac \{x^\{\alpha +1\}\}\{\alpha +1\}\}+C,\qquad (\alpha \neq -1);\,\}$

∫

d x

= ln ⁡

C ;

{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C;,}

$\{\displaystyle \int \{\frac \{dx\}\{x\}\}=\ln |x|+C;\,\}$

∫

d x

C ;

{\displaystyle \int e^{x},dx=e^{x}+C;,}

$\{\displaystyle \int e^\{x\}\,dx=e^\{x\}+C;\,\}$

∫

d x

ln ⁡ a

C ,

( a

0 , a ≠ 1 ) ;

{\displaystyle \int a^{x},dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\qquad (a>0,\ a\neq 1);,}

$\{\displaystyle \int a^\{x\}\,dx=\{\frac \{a^\{x\}\}\{\ln a\}\}+C,\qquad (a>0,\ a\neq 1);\,\}$

∫ cos ⁡ x

d x

sin ⁡ x + C ;

{\displaystyle \int \cos x,dx=\sin x+C;,}

$\{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,\}$

∫ sin ⁡ x

d x

− cos ⁡ x + C ;

{\displaystyle \int \sin x,dx=-\cos x+C;,}

$\{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,\}$

∫

d x

cos

⁡ x

= tg ⁡ x + C ;

{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x+C;,}

$\{\displaystyle \int \{\frac \{dx\}\{\cos ^\{2\}x\}\}=\operatorname \{tg\} x+C;\,\}$

∫

d x

sin

⁡ x

= − ctg ⁡ x + C ;

{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x+C;,}

$\{\displaystyle \int \{\frac \{dx\}\{\sin ^\{2\}x\}\}=-\operatorname \{ctg\} x+C;\,\}$

∫

d x

1 −

= arcsin ⁡ x + C

− arccos ⁡ x +

(

π 2

C ) ;

{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_{1},\qquad (C_{1}={\frac {\pi }{2}}+C);,}

$\{\displaystyle \int \{\frac \{dx\}\{\sqrt \{1-x^\{2\}\}\}\}=\arcsin x+C=-\arccos x+C_\{1\},\qquad (C_\{1\}=\{\frac \{\pi \}\{2\}\}+C);\,\}$

∫

d x

1 +

= arctg ⁡ x + C ;

{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x+C;,}

$\{\displaystyle \int \{\frac \{dx\}\{1+x^\{2\}\}\}=\operatorname \{arctg\} x+C;\,\}$

∫ ch ⁡ x

d x

sh ⁡ x + C ;

{\displaystyle \int \operatorname {ch} x,dx=\operatorname {sh} x+C;,}

$\{\displaystyle \int \operatorname \{ch\} x\,dx=\operatorname \{sh\} x+C;\,\}$

∫ sh ⁡ x

d x

ch ⁡ x + C ;

{\displaystyle \int \operatorname {sh} x,dx=\operatorname {ch} x+C;,}

$\{\displaystyle \int \operatorname \{sh\} x\,dx=\operatorname \{ch\} x+C;\,\}$ Гл. таксама

Зноскі

1 2
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
1 2 3
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 2.
1 2
Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Інтэгральнае злічэнне
Катэгорыя·Матэматычны аналіз