wd wp Пошук: ⬜

Параметры Стокса

Параметры Стокса — набор велічынь, якія апісваюць вектар палярызацыі электрамагнітных хваляў, уведзены ў фізіку Дж. Стоксам у 1852 годзе[1]. Параметры Стокса ёсць варыянтам апісання некагерэнтнага ці часткова палярызаванага выпраменьвання ў тэрмінах поўнай інтэнсіўнасці, ступені палярызацыі і формы эліпса палярызацыі.

Азначэнне

У выпадку плоскай манахраматычнай хвалі параметры Стокса звязаны з параметрамі палярызацыйнага эліпса наступным чынам:[2]

S

0

= I

E

a

2

E

b

2

S

1

= Q

I cos ⁡ 2 ψ cos ⁡ 2 χ

S

2

= U

I sin ⁡ 2 ψ cos ⁡ 2 χ

S

3

= V

I sin ⁡ 2 χ

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\S_{1}&=Q=I\cos 2\psi \cos 2\chi \S_{2}&=U=I\sin 2\psi \cos 2\chi \S_{3}&=V=I\sin 2\chi \end{aligned}}}

Тут

E

a

{\displaystyle E_{a}}

і

E

b

{\displaystyle E_{b}}

— вялікая і малая паўвосі палярызацыйнага эліпса,

ψ

{\displaystyle \psi }

— вугал павароту палярызацыйнага эліпса адносна адвольнай лабараторнай сістэмы каардынат, мае назву азімута эліптычна-палярызаванага выпраменьвання[3] (ці коратка — азімут), а вугал, вызначаемы з умовы дзелі малой паўвосі да вялікай

t g

χ

=

E

b

/

E

a

{\displaystyle \mathrm {tg} ,{\chi }=E_{b}/E_{a}}

— вугал эліптычнасці эліпса палярызацыі. Няцяжка заўважыць, што

S

1

{\displaystyle S_{1}}

,

S

2

{\displaystyle S_{2}}

і

S

3

{\displaystyle S_{3}}

з’яўляюцца праекцыямі

S

0

{\displaystyle S_{0}}

на нейкія каардынатныя восі. У выніку незалежнымі являются тры параметры Стокса, паколькі:

I

2

=

Q

2

U

2

V

2

{\displaystyle I^{2}=Q^{2}+U^{2}+V^{2}}

Параметры Стокса можна звязать з велічынямі, непасрэдна вымяраемымі на вопыце. Няхай

E

1

{\displaystyle E_{1}}

і

E

2

{\displaystyle E_{2}}

— амплітуды змянення вектара

E →

{\displaystyle {\vec {E}}}

ў двух адвольных артаганальных накірунках, а

δ

{\displaystyle \delta }

— рознасць фаз ваганняў у гэтых накірунках. Тады:

S

0

= I

E

1

2

E

2

2

S

1

= Q

E

1

2

−

E

2

2

S

2

= U

2

E

1

E

2

cos ⁡ δ

S

3

= V

2

E

1

E

2

sin ⁡ δ

{\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}\S_{1}&=Q=E_{1}^{2}-E_{2}^{2}\S_{2}&=U=2E_{1}E_{2}\cos \delta \S_{3}&=V=2E_{1}E_{2}\sin \delta \end{aligned}}}

Заўвага: у дадатак да варыянтаў абазначэнняў

S

0

{\displaystyle S_{0}}

,

S

1

{\displaystyle S_{1}}

,

S

2

{\displaystyle S_{2}}

,

S

3

{\displaystyle S_{3}}

ці

I

{\displaystyle I}

,

Q

{\displaystyle Q}

,

U

{\displaystyle U}

,

V

{\displaystyle V}

у некаторых навуковых традыцыях можна сустрэць абазначэнні параметраў вектара

I

{\displaystyle I}

,

M

{\displaystyle M}

,

C

{\displaystyle C}

,

S

{\displaystyle S}

або

I

{\displaystyle I}

,

P

1

{\displaystyle P_{1}}

,

P

2

{\displaystyle P_{2}}

,

P

3

{\displaystyle P_{3}}

ці

S

1

{\displaystyle S_{1}}

,

S

2

{\displaystyle S_{2}}

,

S

3

{\displaystyle S_{3}}

,

S

4

{\displaystyle S_{4}}

.

Прыватныя выпадкі

Выразім з дапамогай параметраў Стокса лінейную палярызацыю. У гэтым выпадку рознасць фаз у любых артаганальных накірунках павінна быць роўная

δ

m π

{\displaystyle \delta =m\pi }

, дзе

m

{\displaystyle m}

— цэлы лік. Тады атрымліваем

I

=

E

1

2

E

2

2

=

E

a

2

E

b

2

Q

= I cos ⁡

2 χ

cos ⁡

2 ψ

= I

1 I

I

2

− ( 2

E

1

E

2

)

2

sin

2

⁡ δ

cos ⁡

2 ψ

= I cos ⁡

2 ψ

U

= I cos ⁡

2 χ

sin ⁡

2 ψ

= I

1 I

I

2

− ( 2

E

1

E

2

)

2

sin

2

⁡ δ

sin ⁡

2 ψ

= I sin ⁡

2 ψ

V

= I sin ⁡

2 χ

= I

2

E

1

E

2

I

sin ⁡

δ

= 0

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}=E_{a}^{2}+E_{b}^{2}\Q&=I\cos {2\chi }\cos {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\cos {2\psi }=I\cos {2\psi }\U&=I\cos {2\chi }\sin {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E_{1}E_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\sin {2\psi }=I\sin {2\psi }\V&=I\sin {2\chi }=I{\frac {2E_{1}E_{2}}{I}}\sin {\delta }=0\end{aligned}}}

Няхай лабараторная вось адліку была выбрана гарызантальнай, як часта гэта й робіцца. Калі

ψ

0

{\displaystyle \psi =0}

, то атрымліваецца гарызантальная лінейная палярызацыя, калі

ψ

±

π 2

{\displaystyle \psi =\pm {\frac {\pi }{2}}}

, то гэта ёсць вертыкальная лінейная палярызацыя.

У табліцы прыведзеныя значэнні параметраў Стокса для трох прыватных выпадкаў

Палярызацыя	Параметры Стокса
	$\{\displaystyle I\}$	$\{\displaystyle Q\}$	$\{\displaystyle U\}$	$\{\displaystyle V\}$
Лінейная	$\{\displaystyle I\}$	$\{\displaystyle I\cos \{2\psi \}\}$	$\{\displaystyle I\sin \{2\psi \}\}$	$\{\displaystyle 0\}$
Правая кругавая	$\{\displaystyle I\}$	$\{\displaystyle 0\}$	$\{\displaystyle 0\}$	$\{\displaystyle I\}$
Левая кругавая	$\{\displaystyle I\}$	$\{\displaystyle 0\}$	$\{\displaystyle 0\}$	$\{\displaystyle -I\}$

Вектары Стокса

Часта чатыры параметры Стокса аб’ядноўваюць у адзін чатырохмерны вектар, што завецца вектарам Стокса:

S →

 

(

S

0

S

1

S

2

S

3

)

=

(

I

Q

U

V

)

{\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\S_{1}\S_{2}\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\Q\U\V\end{pmatrix}}}

Вектар Стокса ахоплівае прастору непалярызаванага, часткова палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. Для параўнання, вектар Джонса, якi таксама ужываецца для апісання палярызацыі, можна выкарыстоўваць толькі для цалкам палярызаванага выпраменьвання, у выніку той больш карысны для задач, звязаных з кагерэнтным выпраменьваннем.

Уплыў аптычнай сістэмы на палярызацыю святла, якое падае на яе, і зададзенага вектарам Стокса, можна разлічыць з дапамогай пераўтварэння Мюллера.

Прыклады

Ніжэй паказаныя вектары Стокса для некаторых простых варыянтаў палярызацыі святла.

Гарызантальная палярызацыя	Вертыкальная палярызацыя	Лінейная палярызацыя (+45°)	Лінейная палярызацыя (−45°)
$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}1\\1\\0\\0\end\{pmatrix\}\}\}$	$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}1\\-1\\0\\0\end\{pmatrix\}\}\}$	$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}1\\0\\1\\0\end\{pmatrix\}\}\}$	$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}1\\0\\-1\\0\end\{pmatrix\}\}\}$
Левая кругавая палярызацыя	Правая кругавая палярызацыя
$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}1\\0\\0\\-1\end\{pmatrix\}\}\}$	$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}1\\0\\0\\1\end\{pmatrix\}\}\}$
Непалярызаванае святло
$\{\displaystyle \{\begin\{pmatrix\}1\\0\\0\\0\end\{pmatrix\}\}\}$

Параметры Стокса для квазіманахраматычнага выпраменьвання

У квазіманахраматычным выпраменьванні прысутнічаюць хвалі розных, хоть і блізкіх частот. Няхай

a

1

{\displaystyle a_{1}}

і

a

2

{\displaystyle a_{2}}

— імгненныя амплітуды ў двух узаемна-перпендыкулярных накірунках. Тады параметры Стокса задаюцца наступнымі выражэннямі:[4]

I

= ⟨

a

1

2

⟩ + ⟨

a

2

2

⟩

Q

= ⟨

a

1

2

⟩ − ⟨

a

2

2

⟩

U

= 2 ⟨

a

1

a

2

cos ⁡ δ ⟩

V

= 2 ⟨

a

1

a

2

sin ⁡ δ ⟩

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\langle a_{1}^{2}\rangle +\langle a_{2}^{2}\rangle \Q&=\langle a_{1}^{2}\rangle -\langle a_{2}^{2}\rangle \U&=2\langle a_{1}a_{2}\cos \delta \rangle \V&=2\langle a_{1}a_{2}\sin \delta \rangle \end{aligned}}}

Для вызначэння параметраў Стокса увядзем інтэнсіўнасць

I ( θ , ϵ )

{\displaystyle I(\theta ,\epsilon )}

ваганняў у накірунку, што ўтварае вугал

θ

{\displaystyle \theta }

з накірункам восі Ox, калі іх y-кампанента запазняецца на велічыню

ϵ

{\displaystyle \epsilon }

у адносінах да x-кампаненты. Тады

I

= I (

0

∘

, 0 ) + I (

90

∘

, 0 )

Q

= I (

0

∘

, 0 ) − I (

90

∘

, 0 )

U

= I (

45

∘

, 0 ) − I (

135

∘

, 0 )

V

= I

(

45

∘

,

π 2

)

− I

(

135

∘

,

π 2

)

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=I(0^{\circ },0)+I(90^{\circ },0)\Q&=I(0^{\circ },0)-I(90^{\circ },0)\U&=I(45^{\circ },0)-I(135^{\circ },0)\V&=I\left(45^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)-I\left(135^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}

У адрозненне ад манахраматычнага выпраменьвання, у квазіманахраматычным выпадку параметры Стокса незалежныя і звязаныя няроўнасцю

I

2

⩾

Q

2

U

2

V

2

{\displaystyle I^{2}\geqslant Q^{2}+U^{2}+V^{2}}

Гэту няроўнасць можна растлумачыць, уявіўшы, што квазіманахраматычнае выпраменьванне складаецца з цалкам палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. На аснове гэтага можна ўвесці ступень палярызацыі:

p

Q

2

U

2

V

2

I

{\displaystyle p={\frac {\sqrt {Q^{2}+U^{2}+V^{2}}}{I}}}

Камплекснае прадстаўленне

Увядзём камплексную інтэнсіўнасць лінейнае палярызаванае хвалі

L

≡

|

L

|

e

i 2 θ

≡

Q + i U .

{\displaystyle {\begin{matrix}L&\equiv &|L|e^{i2\theta }\&\equiv &Q+iU.\\end{matrix}}}

Можна паказаць, што пры павароце

θ → θ +

θ ′

{\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta ‘}

палярызацыйнага эліпса велічыні

I

{\displaystyle I}

і

V

{\displaystyle V}

остаются нязменнымі, а велічыні

L

{\displaystyle L}

,

Q

{\displaystyle Q}

і

U

{\displaystyle U}

мяняюцца наступным чынам:

L

→

e

i 2

θ ′

L ,

Q

→

Re

(

e

i 2

θ ′

L

)

,

U

→

Im

(

e

i 2

θ ′

L

)

.

{\displaystyle {\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta ‘}L,\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta ‘}L\right),\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta ‘}L\right).\\end{matrix}}}

Дзякуючы гэтым уласцівасцям параметры Стокса можна звесці да трох абагульненых інтэнсіўнасцяў:

I

≥

0 ,

V

∈

R

,

L

∈

C

,

{\displaystyle {\begin{matrix}I&\geq &0,\V&\in &\mathbb {R} ,\L&\in &\mathbb {C} ,\\end{matrix}}}

дзе

I

{\displaystyle I}

 — поўная інтэнсіўнасць,

|

V

|

{\displaystyle |V|}

 — інтэнсіўнасць кампаненты з кругавой палярызацыяй, а

|

L

|

{\displaystyle |L|}

 — інтэнсіўнасць лінейна палярызаваной кампаненты выпраменьвання. Поўная інтэнсіўнасць палярызаванага выпраменьвання ёсць

I

p

=

|

L

|

2

|

V

|

2

{\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}

, а арыентацыя і накіраванне кручэння вызначаюцца раўнаннямі

θ

=

1 2

arg ⁡ ( L ) ,

h

=

sgn ⁡ ( V ) .

{\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\end{matrix}}}

Паколькі

Q

Re

( L )

{\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}

, а

U

Im

( L )

{\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}

, то

|

L

|

=

Q

2

U

2

,

θ

=

1 2

tan

− 1

⁡ ( U

/

Q ) .

{\displaystyle {\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\end{matrix}}}

Глядзі таксама

• Палярызацыя хваляу

Заўвагі

1. ↑ S. Chandrasekhar ‘Radiative Transfer*, Dover Publications, New York, 1960, ISBN 0-486-60590-6, page 25*
2. ↑ Thomas L. Wilson, Kristen Rohlfs, Susane Hüttemeister - Tools of Radio Astronomy, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-85121-9, ISBN 978-3-540-85122-6
3. ↑ ГОСТ 23778-79 Измерения оптические поляризационные. Термины и определения. — Государственный комитет СССР по стандартам. — М., 1979. — С. 2-3. — 16 с.
4. ↑ М.Борн, Э. Вольф - Основы Оптики, М. “Наука”, 1973

Літаратура

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• William H. McMaster (1954). “Polarization and the Stokes Parameters”. Am. J. Phys. 22: 351. doi:10.1119/1.1933744. Bibcode: 1954AmJPh..22..351M.
• William H. McMaster (1961). “Matrix representation of polarization”. Rev. Mod. Phys. 33: 8. doi:10.1103/RevModPhys.33.8. Bibcode: 1961RvMP…33….8M.

Спасылкі

• Stokes parameters and polarisation

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Старонкі з недагледжанымі перакладамі
Катэгорыя·Электрамагнетызм