wd wp Пошук: ⬜

Няроўнасць Чабышова

Няроўнасць Чaбышова, таксама вядомая як няроўнасць Б’енэме-Чaбышова, — няроўнасць з тэорыі меры і тэорыі імавернасцей. Яна была ўпершыню сфармулявана Б’енэме ў 1853 годзе (праўда, без доказу), а пасля даказана Чабышовым. Няроўнасць, якая выкарыстоўваецца ў тэорыі меры, з’яўляецца больш агульнай чым тая, што выкарыстоўваецца ў тэорыі імавернасцей — у тэорыі імавернасцей выкарыстоўваецца яе вынік.

Няроўнасць Чaбышова ў тэорыі імавернасцей

У тэорыі імавернасцей, няроўнасць Чaбышова гарантуе, што ў любым размеркаванні імавернасцей, «амаль усе» значэнні будуць блізкія да сярэдняга, больш дакладна, доля значэнняў, аддаленых ад сярэдняга больш чым на

{\displaystyle k}

$\{\displaystyle k\}$ стандартных адхіленняў, не большая за

{\displaystyle 1/k^{2}}

$\{\displaystyle 1/k^\{2\}\}$ . Інакш кажучы, няроўнасць дае ацэнку імавернасці таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, далёкае ад свайго сярэдняга. Няроўнасць Чaбышова з’яўляецца вынікам няроўнасці Маркава.

Фармулёўкі

Няхай выпадковая велічыня

X : Ω →

{\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }

$\{\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb \{R\} \}$ вызначана на імавернаснай прасторы

( Ω ,

)

{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}

$\{\displaystyle (\Omega ,\{\mathcal \{F\}\},\mathbb \{P\} )\}$ , а яе матэматычнае чаканне

{\displaystyle \mu }

$\{\displaystyle \mu \}$ і дысперсія

{\displaystyle \sigma ^{2}}

$\{\displaystyle \sigma ^\{2\}\}$ канечныя. Тады

(

X − μ

⩾ a

)

⩽

{\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}},}

$\{\displaystyle \mathbb \{P\} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant \{\frac \{\sigma ^\{2\}\}\{a^\{2\}\}\},\}$ дзе

{\displaystyle a>0.}

$\{\displaystyle a>0.\}$

Калі

a

k σ

{\displaystyle a=k\sigma }

$\{\displaystyle a=k\sigma \}$ , дзе

{\displaystyle \sigma }

$\{\displaystyle \sigma \}$ — стандартнае адхіленне і

0 ,

{\displaystyle k>0,}

$\{\displaystyle k>0,\}$ тады атрымаем

(

X − μ

⩾ k σ

)

⩽

{\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}.}

$\{\displaystyle \mathbb \{P\} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant \{\frac \{1\}\{k^\{2\}\}\}.\}$ У прыватнасці, выпадковая велічыня з канечнай дысперсіяй адхіляецца ад сярэдняга больш, чым на

{\displaystyle 2}

$\{\displaystyle 2\}$ стандартныя адхіленні, з імавернасцю менш

25 % .

{\displaystyle 25%.}

$\{\displaystyle 25\%.\}$ Яна ж адхіляецца ад сярэдняга на

{\displaystyle 3}

$\{\displaystyle 3\}$ стандартныя адхіленні з імавернасцю менш

% .

{\displaystyle 11{,}2,%.}

$\{\displaystyle 11\{,\}2\,\%.\}$ Іншымі словамі, у граніцах

2 σ

{\displaystyle 2\sigma }

$\{\displaystyle 2\sigma \}$ (2-х стандартных адхіленняў) знаходзяцца па меншай меры

100

−

{\displaystyle {100}{-}{25}{=}{75,%}}

$\{\displaystyle \{100\}\{-\}\{25\}\{=\}\{75\,\%\}\}$ значэнняў, а ў граніцах

3 σ

{\displaystyle 3\sigma }

$\{\displaystyle 3\sigma \}$ знаходзяцца па меншай меры

100

−

{\displaystyle {100}{-}{11{,}2}{=}{88{,}8,%}}

$\{\displaystyle \{100\}\{-\}\{11\{,\}2\}\{=\}\{88\{,\}8\,\%\}\}$ значэнняў.

Для найважнейшага выпадку аднамадальных размеркаванняў Няроўнасць Высачанскага — Пятуніна(руск.) бел. істотна ўзмацняе няроўнасць Чaбышова, уключаючы ў сябе дзель

{\displaystyle 4/9}

$\{\displaystyle 4/9\}$ і набліжае няроўнасць Чaбышова да правіла трох сігм (ужываецца для нармальнага размеркавання). Як вынік, размеркаванне змяняецца, і ў граніцах

3 σ

{\displaystyle 3\sigma }

$\{\displaystyle 3\sigma \}$ знаходзяцца «амаль усе» (а дакладней,

{\displaystyle 95{,}06,%}

$\{\displaystyle 95\{,\}06\,\%\}$ ) значэнні выпадковай велічыні.

Няроўнасць Чaбышова ў тэорыі меры

Гэты раздзел артыкула яшчэ не напісаны.

Паводле задумы аднаго з удзельнікаў Вікіпедыі, на гэтым месцы павінен размяшчацца спецыяльны раздзел.
Вы можаце дапамагчы праекту, напісаўшы гэты раздзел.

Гл. таксама

Няроўнасць Маркава

Літаратура

Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В.(руск.) бел.. Элементы теории функций и функционального анализа. — М., 1976.

Спасылкі

На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Няроўнасць Чабышова
Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва(недаступная спасылка)

Тэмы гэтай старонкі (7):
Category:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D1%96%2C %D1%8F%D0%BA%D1%96%D1%8F %D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%9E%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%86%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%8F %D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%96 %D1%9E %D1%81%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8B%D0%BC %D1%84%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B5
Катэгорыя·Тэорыя меры
Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай
Катэгорыя·Вікіпедыя·Артыкулы з незавершанымі раздзеламі
Катэгорыя·Тэорыя імавернасцей
Катэгорыя·Вікіпедыя·Артыкулы з непрацоўнымі спасылкамі
Катэгорыя·Імавернасныя няроўнасці