wd wp Пошук: ⬜

Мера Жардана

Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і n-мернага аб’ёму) у n-мернай еўклідавай прасторы.

Пабудова

Мера Жардана

  m Δ

{\displaystyle ~m\Delta }

паралелепіпеда

Δ

∏

i

1

n

[

a

i

,

b

i

]

{\displaystyle \Delta =\prod _{i=1}^{n}[a_{i},;b_{i}]}

у

R

n

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

вызначаецца як здабытак

m Δ

∏

i

1

n

(

b

i

−

a

i

) .

{\displaystyle m\Delta =\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}

Для абмежаванага мноства

E ⊂

R

n

{\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}

вызначаюцца:

• вонкавая (знешняя) мера Жардана

m

e

E

inf

∑

k

1

N

m

Δ

k

,

⋃

k

Δ

k

⊃ E

{\displaystyle m_{e}E=\inf \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\supset E}

• унутраная мера Жардана

m

i

E

sup

∑

k

1

N

m

Δ

k

,

⋃

k

Δ

k

⊂ E ,

Δ

k

∩

Δ

m

= ∅ ,

{\displaystyle m_{i}E=\sup \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\subset E,\quad \Delta _{k}\cap \Delta _{m}=\varnothing ,}

 калі 

k ≠ m ,

{\displaystyle k\neq m,}

дзе

Δ

1

,

Δ

2

,

… ,

Δ

N

{\displaystyle \Delta _{1},;\Delta _{2},;\ldots ,;\Delta _{N}}

— паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства

  E

{\displaystyle ~E}

называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры n = 2, кубавальным пры n ≥ 3), калі

 

m

e

E

m

i

E .

{\displaystyle ~m_{e}E=m_{i}E.}

У гэтым выпадку мера Жардана роўная

  m E

m

e

E

m

i

E .

{\displaystyle ~mE=m_{e}E=m_{i}E.}

Уласцівасці

• Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
• Абмежаванае мноства

E ⊂

R

n

{\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}

вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана . + У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.

• Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для

  E

{\displaystyle ~E}

і

E ¯

{\displaystyle {\bar {E}}}

(замыкання мноства

  E

{\displaystyle ~E}

) і раўняецца меры Барэля

E ¯

{\displaystyle {\bar {E}}}

.

• Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

Гісторыя

Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

Прыклад мноства, невымернага па Жардану

Разглядзім меру Жардана

m ,

{\displaystyle m,}

вызначаную на

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

і няхай

A

{ ( x , y ) ∈

R

2

: 0 ≤ x ≤ 1 ,

0 ≤ y ≤ 1 }

{\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leq x\leq 1,;0\leq y\leq 1\}}

— мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай

X

A ∩

Q

2

{\displaystyle X=A\cap \mathbb {Q} ^{2}}

— мноства ўсіх пунктаў мноства

A

{\displaystyle A}

з рацыянальнымі каардынатамі, тады

X

{\displaystyle X}

— невымернае па Жардану мноства, бо

m

e

X

1 ,

m

i

X

0 ,

m

e

X ≠

m

i

X ,

{\displaystyle m_{e}X=1,;m_{i}X=0,;m_{e}X\neq m_{i}X,}

г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

Літаратура

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
• Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
• Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

Гл. таксама

• Мера мноства
• Мера Лебега
• Мера Хаусдорфа
• Мера Барэля (англ.)

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Еўклідава геаметрыя
Катэгорыя·Тэорыя меры