wd wp Пошук: ⬜

Матрыцы Паўлі

Матрыцы Паўлі — гэта набор з трох эрмітавых 2×2 матрыц, які складаюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых 2×2 матрыц з нулявым следам. Былі прапанаваны Вольфгангам Паўлі для апісання спіна электрона ў квантавай механіцы. Матрыцы маюць выгляд

(

)

{\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\1&0\end{pmatrix}},}

$\{\displaystyle \sigma _\{1\}=\{\begin\{pmatrix\}0&1\\1&0\end\{pmatrix\}\},\}$

(

− i

)

{\displaystyle \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\i&0\end{pmatrix}},}

$\{\displaystyle \sigma _\{2\}=\{\begin\{pmatrix\}0&-i\\i&0\end\{pmatrix\}\},\}$

(

− 1

)

{\displaystyle \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\0&-1\end{pmatrix}}.}

$\{\displaystyle \sigma _\{3\}=\{\begin\{pmatrix\}1&0\\0&-1\end\{pmatrix\}\}.\}$ Замест

{\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}

$\{\displaystyle \sigma _\{1\},\sigma _\{2\},\sigma _\{3\}\}$ часам выкарыстоўваюць пазначэнне

{\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}.}

$\{\displaystyle \sigma _\{x\},\sigma _\{y\},\sigma _\{z\}.\}$

Часта таксама ўжываюць матрыцу

(

)

{\displaystyle \sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix}},}

$\{\displaystyle \sigma _\{0\}=\{\begin\{pmatrix\}1&0\\0&1\end\{pmatrix\}\},\}$ якая супадае з адзінкавай матрыцай.

Матрыцы Паўлі разам з матрыцай

{\displaystyle \sigma _{0}}

$\{\displaystyle \sigma _\{0\}\}$ ўтвараюць базіс ў прасторы ўсіх эрмітавых матрыц 2×2 (а не толькі матрыц з нулявым следам).

Уласцівасці

Асноўныя суадносіны

Эрмітавасць:

†

;

{\displaystyle \sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i};}

$\{\displaystyle \sigma _\{i\}^\{\dagger \}=\sigma _\{i\};\}$

Роўнасць нулю следу:

Tr ⁡ (

)

0 ,

i

1 , 2 , 3

{\displaystyle \operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0,\quad \ i=1,2,3}

$\{\displaystyle \operatorname \{Tr\} (\sigma _\{i\})=0,\quad \ i=1,2,3\}$

= I ,

{\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\sigma _{0}=I,}

$\{\displaystyle \sigma _\{1\}^\{2\}=\sigma _\{2\}^\{2\}=\sigma _\{3\}^\{2\}=\sigma _\{0\}=I,\}$ дзе

I

{\displaystyle I=\sigma _{0}}

$\{\displaystyle I=\sigma _\{0\}\}$ — адзінкавая матрыца размернасці 2×2.

Вызначнік матрыц Паўлі роўны −1.
алгебра, народжаная элементамі

, − i

{\displaystyle \sigma _{0},-i\sigma _{x},-i\sigma _{y},-i\sigma _{z}}

$\{\displaystyle \sigma _\{0\},-i\sigma _\{x\},-i\sigma _\{y\},-i\sigma _\{z\}\}$ , ізаморфныя алгебры кватерніёнаў

⟨ 1 , i , j , k ⟩

{\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle }

$\{\displaystyle \langle 1,i,j,k\rangle \}$ .

Правілы множання матрыц Паўлі

= i

{\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3},,!}

$\{\displaystyle \sigma _\{1\}\sigma _\{2\}=i\sigma _\{3\},\,\!\}$

= i

{\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2},,!}

$\{\displaystyle \sigma _\{3\}\sigma _\{1\}=i\sigma _\{2\},\,\!\}$

= i

{\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1},,!}

$\{\displaystyle \sigma _\{2\}\sigma _\{3\}=i\sigma _\{1\},\,\!\}$

= −

{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}!}

$\{\displaystyle \sigma _\{i\}\sigma _\{j\}=-\sigma _\{j\}\sigma _\{i\}\!\}$ для

i ≠ j .

{\displaystyle i\neq j.,!}

$\{\displaystyle i\neq j.\,\!\}$ Гэтыя правілы множання можна перапісаць у кампактнай форме

= i

i j k

i j

⋅

i , j , k

1 , 2 , 3

{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot \sigma _{0},\quad i,j,k=1,2,3}

$\{\displaystyle \sigma _\{i\}\sigma _\{j\}=i\varepsilon _\{ijk\}\sigma _\{k\}+\delta _\{ij\}\cdot \sigma _\{0\},\quad i,j,k=1,2,3\}$ , дзе

i j

{\displaystyle \delta _{ij}}

$\{\displaystyle \delta _\{ij\}\}$ — сімвал Кронекера, а εijk — сімвал Леві-Чывіты.

З гэтых правілаў множання вынікаюць камутацыйныя суадносіны

[

]

2 i

i j k

{

}

i j

⋅

{\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i,\varepsilon _{ijk},\sigma _{k},\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot \sigma _{0}.\end{matrix}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{matrix\}[\sigma _\{i\},\sigma _\{j\}]&=&2i\,\varepsilon _\{ijk\}\,\sigma _\{k\},\\\\{\sigma _\{i\},\sigma _\{j\}\\}&=&2\delta _\{ij\}\cdot \sigma _\{0\}.\end\{matrix\}\}\}$ Квадратныя дужкі азначаюць камутатар, фігурныя — антыкамутатар.

Сувязь з алгебрай Лі

Камутацыйныя суадносіны матрыц

{\displaystyle i\sigma _{k}!}

$\{\displaystyle i\sigma _\{k\}\!\}$ супадаюць з камутацыйнымі суадносінамі генератараў алгебры Лі su(2). І сапраўды, уся гэтая алгебра, якая складаецца з антыэрмітавых матрыц 2×2, можа быць пабудавана з адвольных лінейных камбінацый матрыц

{\displaystyle i\sigma _{k};.}

$\{\displaystyle i\sigma _\{k\}\;.\}$ Група SU(2) з алгебрай su(2) лакальна ізаморфныя групе SO(3) кручэнняў трохмернай прасторы; у прыватнасці гэтым тлумачыцца важнасць матрыц Паўлі для фізікі.

Зноскі

Літаратура

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Квантавая механіка
Катэгорыя·Тыпы матрыц
Катэгорыя·Групы Лі