wd wp Пошук: ⬜

Кампактыфікацыя

У агульнай тапалогіі кампактыфіка́цыя — аперацыя, якая пераўтворыць адвольныя тапалагічныя прасторы ў кампактныя.

Фармальна кампактыфікацыя прасторы

X

{\displaystyle X}

вызначаецца як пара

( Y ,

f )

{\displaystyle (Y,;f)}

, дзе

Y

{\displaystyle Y}

кампактна,

f : X → Y

{\displaystyle f:X\to Y}

гамеамарфізм на свой ​​вобраз

f ( X )

{\displaystyle f(X)}

і

f ( X )

{\displaystyle f(X)}

шчыльна ў

Y

{\displaystyle Y}

.

На кампактыфікацыях некаторай фіксаванай прасторы

X

{\displaystyle X}

можна ўвесці частковы парадак. Пакладзем

f

1

⩽

f

2

{\displaystyle f_{1}\leqslant f_{2}}

для двух кампактыфікацый

f

1

: X →

Y

1

{\displaystyle f_{1}:X\to Y_{1}}

,

f

2

: X →

Y

2

{\displaystyle f_{2}:X\to Y_{2}}

, калі існуе бесперапыннае адлюстраванне

g :

Y

2

→

Y

1

{\displaystyle g:Y_{2}\to Y_{1}}

такое, што

g

f

2

=

f

1

{\displaystyle gf_{2}=f_{1}}

. Максімальны (з дакладнасцю да гамеамарфізма) элемент у гэтым парадку называецца кампактыфікацыяй Стоўна — Чэха[1] і пазначаецца

β X

{\displaystyle \beta X}

. Для таго, каб у прасторы

X

{\displaystyle X}

існавала кампактыфікацыя Стоўна — Чэха, якая задавальняе аксіёме аддзельнасці Хаусдорфа, неабходна і дастаткова, каб

X

{\displaystyle X}

задавальняла аксіоме аддзельнасці

T

3

1 2

{\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}}

, г.зн. была цалкам рэгулярным.

Аднакропкавая кампактыфікацыя (або кампактыфікацыя Аляксандрава) ўладкованая наступным чынам. Няхай

Y

X ∪ { ∞ }

{\displaystyle Y=X\cup \{\infty \}}

і адкрытымі мноствамі ў

Y

{\displaystyle Y}

лічацца ўсе адкрытыя мноства

X

{\displaystyle X}

, а таксама мноства выгляду

O ∪ { ∞ }

{\displaystyle O\cup \{\infty \}}

, дзе

O ⊆ X

{\displaystyle O\subseteq X}

мае кампактнае (у

X

{\displaystyle X}

) дапаўненне.

f

{\displaystyle f}

бярэцца як натуральнае ўкладанне

X

{\displaystyle X}

у

Y

{\displaystyle Y}

.

( Y ,

f )

{\displaystyle (Y,;f)}

тады кампактыфікацыя, прычым

Y

{\displaystyle Y}

хаусдарфавае тады і толькі тады, калі

X

{\displaystyle X}

хаусдарфавае і лакальна кампактнае.

Прыклады аднакропкавай кампактыфікацыі

R

∪ { ∞ }

{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}

з тапалогіяй, сканструяванай як паказана вышэй, з’яўляецца кампактнай прасторай. Няцяжка даказаць, што калі дзве прасторы гамеаморфныя, то і адпаведныя аднакропкавыя кампактыфікацыі гамеаморфныя. У прыватнасці, так як акружнасць на плоскасці без адной кропкі гамеаморфная з

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

(прыклад гамеамарфізму — стэрэаграфічная праекцыя), цэлая акружнасць гамеаморфная з

R

∪ { ∞ }

{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}

. Аналагічна,

R

n

∪ { ∞ }

{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}

гамеаморфна c n-мернай гіперсферай.

Зноскі

1. ↑ Таксама «стоўнчэхаўская кампактыфікацыя» і «чэхстоўнава кампактыфікацыя».

Тэмы гэтай старонкі (1):
Катэгорыя·Агульная тапалогія