Дыфракцыя Фрэнеля — дыфракцыйная карціна, якая назіраецца на невялікай адлегласці ад перашкоды, ва ўмовах, калі асноўны ўнёсак у інтэрферэнцыйную карціну даюць межы экрана.
На малюнку схематычна намаляваны (злева) непразрысты экран з круглай адтулінай (апертура), злева ад якой размешчана крыніца святла. Выява фіксуецца на іншым экране — справа. З прычыны дыфракцыі святло, якое праходзіць праз адтуліну, разыходзіцца, таму вобласць, якая была прыцемнена па законах геаметрычнай оптыкі, будзе часткова асветленай. У вобласці, якая пры прасталінейным распаўсюдзе святла была б асветленай, назіраюцца ваганні інтэнсіўнасці асвятлення ў выглядзе канцэнтрычных кольцаў.
Дыфракцыйная карціна для дыфракцыі Фрэнеля залежыць ад адлегласці паміж экранамі і ад размяшчэння крыніц святла. Яе можна разлічыць, лічачы, што кожны пункт на мяжы апертуры выпраменьвае сферычную хвалю па прынцыпу Гюйгенса. У пунктах назірання на другім экране хвалі ці ўзмацняюць адна адну, ці гасяцца ў залежнасці ад рознасці ходу, а значыць інтэрферыруюць паміж сабой. Гэты дапоўнены прынцып мае назву прынцыпу Гюйгенса-Фрэнеля.
У скалярнай тэорыі дыфракцыі размеркаванне электрычнага поля дыфрагавальнага святла у пункце (x,y,z) задаецца выразам Рэлея-Зомерфельда:
−
i λ
∬
− ∞
∞
E (
x ′
,
y ′
, 0 )
e
i k r
r
cos θ
d
x ′
d
y ′
{\displaystyle E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint _{-\infty }^{+\infty }{E(x’,y’,0){\frac {e^{ikr}}{r}}\cos \theta }dx’dy’}
дзе
( x −
x ′
)
2
( y −
y ′
)
2
z
2
{\displaystyle r={\sqrt {(x-x’)^{2}+(y-y’)^{2}+z^{2}}}}
,
i
{\displaystyle i,}
— уяўная адзінка, і
z r
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {z}{r}}}
— косінус кута паміж кірункамі z і r. У аналітычным выглядзе гэты інтэграл прадстаўляльны толькі для найпростых геаметрый адтулін, таму ён вылічаецца звычайна лічбавымі метадамі.
Галоўная цяжкасць пры вылічэнні інтэграла ўяўляе сабою выраз для r. Па-першае, спросцім вылічэнні, зрабіўшы замену зменных:
ρ
2
= ( x −
x ′
)
2
( y −
y ′
)
2
{\displaystyle \rho ^{2}=(x-x’)^{2}+(y-y’)^{2},}
Падстаўляючы гэты выраз замест r, знойдзем:
ρ
2
z
2
= z
1 +
ρ
2
z
2
{\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}}
Скарыстаемся раскладаннем Тэйлара у шэраг
1 + u
= ( 1 + u
)
1
/
2
= 1 +
u 2
−
u
2
8
⋯
{\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{1/2}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }
і выкажам r у выглядзе
z
1 +
ρ
2
z
2
= z
[
1 +
ρ
2
2
z
2
−
1 8
(
ρ
2
z
2
)
2
⋯
]
= z +
ρ
2
2 z
−
ρ
4
8
z
3
⋯
{\displaystyle r=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots }
Калі мы разгледзім усе члены раскладання, гэта будзе дакладным выразам[1]. Падставім гэты выраз у аргумент экспанентнай функцыі пад інтэгралам; ключавую ролю ў набліжэнні Фрэнэля гуляе грэбаванне трэцім членам у раскладанні, які мяркуецца малым. Каб гэта было магчымым, ён павінен слаба ўплываць на паказчык ступені. Іншымі словамі, ён павінен быць нашмат менш, чым перыяд паказчыку экспаненты, гэта значыць
2 π
{\displaystyle 2\pi }
:
k
ρ
4
8
z
3
≪ 2 π .
{\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .}
Выяўляючы k у тэрмінах даўжыні хвалі,
2 π
λ
{\displaystyle k={2\pi \over \lambda },}
атрымаем наступныя суадносіны:
ρ
4
z
3
λ
≪ 8
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}
Памнажаючы абодва бакі на
z
/
λ
{\displaystyle z/\lambda }
, атрымаем
ρ
4
z
2
λ
2
≪ 8
z λ
{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }}
ці, падстаўляючы раней атрыманы выраз для ρ2,
[ ( x −
x ′
)
2
( y −
y ′
)
2
]
2
z
2
λ
2
≪ 8
z λ
{\displaystyle {\frac {[(x-x’)^{2}+(y-y’)^{2}]^{2}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }}
Калі гэта ўмова выконваецца для ўсіх значэнняў x, x’ , y і y’ , тады мы можам занядбаць трэцім членам у раскладанні Тэйлара. Больш таго, калі трэці член малы, тое ўсё наступныя складнікі больш высокіх парадкаў таксама малыя, і імі можна занядбаць. Тады можна апраксімаваць выраз, выкарыстоўваючы два члена раскладання:
r ≈ z +
( x −
x ′
)
2
( y −
y ′
)
2
2 z
{\displaystyle r\approx z+{\frac {(x-x’)^{2}+(y-y’)^{2}}{2z}}}
Гэты выраз завецца набліжэннем Фрэнэля, а няроўнасць, атрыманая раней, ёсць умова дастасавальнасці гэтага набліжэння.
Умова дастасавальнасці досыць слабая і дазваляе ўсе характэрныя памеры ўзяць як параўнальныя велічыні, калі апертура шмат менш, чым даўжыня шляху. Да таго ж, нас цікавіць толькі малая вобласць недалёка ад крыніцы, велічыні x і y шмат менш, чым z, выкажам здагадку
θ ≈ 0
{\displaystyle \theta \approx 0}
, што азначае
cos θ ≈ 1
{\displaystyle \cos \theta \approx 1}
, і r у назоўніку можна апраксімаваць выразам
r ≈ z
{\displaystyle r\approx z}
.
У супрацьлегласць дыфракцыі Фраўнгофера, дыфракцыя Фрэнэля павінна ўлічваць крывізну хвалевага фронта, каб правільна ўлічыць адносныя фазы інтэрферуючых хваль.
Электрычнае поле для дыфракцыі Фрэнэля ў пункце (x,y,z) дадзена ў выглядзе:
−
i λ
e
i k z
z
∬
− ∞
∞
E (
x ′
,
y ′
, 0 )
e
i k
2 z
[ ( x −
x ′
)
2
( y −
y ′
)
2
]
d
x ′
d
y ′
{\displaystyle E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{ikz} \over z}\iint _{-\infty }^{+\infty }E(x’,y’,0)e^{{ik \over 2z}[(x-x’)^{2}+(y-y’)^{2}]}dx’dy’}
Гэта - інтэграл дыфракцыі Фрэнэля; ён азначае, што, калі набліжэнне Фрэнэля сапраўднае, то поле, якое распаўсюджваецца, з’яўляецца хвалей, якая пачынаецца ў апертуры і рухаецца ўздоўж z. Інтэграл мадулюе амплітуду і фазу сферычнай хвалі. Аналітычнае рашэнне гэтага выраза магчыма толькі ў рэдкіх выпадках. Для далейшага спрашчэння, сапраўднага толькі для нашмат большых адлегласцяў ад крыніцы дыфракцыі, гл. дыфракцыя Фраўнгофера.
e
i k r
/
r
{\displaystyle e^{ikr}/r}
рэальная хваля. У рэчаіснасці не існуе сапраўднага рашэння вектарнага раўнання Гельмгольца, толькі для скалярнага. Гл. скалярнае хвалевае набліжэнне