wd wp Пошук: ⬜

Гіпотэза Рымана

Гіпо́тэза Ры́мана - здагадка аб размеркаванні нулёў дзэта-функцыі Рымана. Яна сцвярджае, што ўсе нетрывіяльныя нулі Рыманавай дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку 12. Гіпотэза была сфармулявана Бернхардам Рыманам у 1859 годзе.

Пакуль невядома якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Рыман выявіў, што колькасць простых лікаў, не большых за x, — функцыя размеркавання простых лікаў, якая абазначаецца праз π(x), — выражаецца праз размеркаванне так званых «нетрывіяльных нулёў» дзэта-функцыі.

Многія сцвярджэнні аб размеркаванні простых лікаў, у тым ліку аб вылічальнай складанасці некаторых цэлалікавых алгарытмаў, даказаныя пры дапушчэнні справядлівасці гіпотэзы Рымана.

Гіпотэза Рымана ўваходзіць у спіс сямі «праблем тысячагоддзя»(руск.) бел., за рашэнне кожнай з якіх Матэматычны інстытут Клэя(руск.) бел. (Clay Mathematics Institute, Кембрыдж, Масачусетс) выплаціць узнагароду ў адзін мільён долараў ЗША. У выпадку апублікавання контрпрыкладу да гіпотэзы Рымана, вучоны савет інстытута Клэя мае права вырашыць, ці можна лічыць гэты контрпрыклад канчатковым рашэннем праблемы, ці праблему можна перафармуляваць у вузейшай форме і пакінуць адкрытай (у апошнім выпадку аўтару контрпрыкладу можа быць выплачана невялікая частка ўзнагароды)[1][2].

Фармулёўка

Дзэта-функцыя Рымана

ζ ( s )

{\displaystyle \zeta (s)}

вызначана для ўсіх камплексных

s ≠ 1

{\displaystyle s\neq 1}

і мае нулі ў адмоўных цотных

s

− 2 , − 4 , − 6 …

{\displaystyle s=-2,-4,-6\dots }

.

З функцыянальнага ўраўнення

ζ ( s )

2

s

π

s

sin ⁡

π s

2

1

sin ⁡ π s Γ ( s )

ζ ( 1 − s )

{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s}\sin {\pi s \over 2}{\frac {1}{\sin \pi s\Gamma (s)}}\zeta (1-s)}

і яўнага выразу

1

ζ ( s )

=

∑

n

1

∞

μ ( n )

n

s

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}

   пры

Re ⁡ s

1 ,

{\displaystyle \operatorname {Re} s>1,}

дзе

μ ( n )

{\displaystyle \mu (n)}

— функцыя Мёбіуса, вынікае, што ўсе астатнія нулі, якія называюцца «нетрывіяльнымі», размяшчаюцца ў паласе

0 ⩽ Re ⁡ s ⩽ 1

{\displaystyle 0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1}

сіметрычна адносна так званай «крытычнай лініі»

1 2

i t ,

t ∈

R

{\displaystyle {1 \over 2}+it,;t\in \mathbb {R} }

.

Гіпотэза Рымана

Гіпотэза Рымана сцвярджае, што:

Усе нетрывіяльныя нулі дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку, роўную 12.

Абагульненая гіпотэза Рымана

Асноўны артыкул: Абагульненая гіпотэза Рымана Абагульненая гіпотэза Рымана складаецца з таго ж самага сцвярджэння для абагульненняў дзэта-функцыі, якія называюцца L-функцыямі Дзірыхле(руск.) бел..

Раўназначныя фармулёўкі

У 1901 годзе Хельге фон Кох(англ.) бел. паказаў, што гіпотэза Рымана раўназначная наступнаму сцвярджэнню аб размеркаванні простых лікаў:

π ( x )

∫

2

x

d t

ln ⁡ t

O

(

x

ln ⁡ x

)

{\displaystyle \pi (x)=\int \limits _{2}^{x}!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)}

при

x → ∞ .

{\displaystyle x\rightarrow \infty .}

Ёсць яшчэ некалькі раўназначных фармулёвак:

• Для ўсіх

x ⩾ 2657

{\displaystyle x\geqslant 2657}

выконваецца няроўнасць

|

π ( x ) −

∫

2

x

d t

ln ⁡ t

|

<

1

8 π

x

ln ⁡ x ,

{\displaystyle \left|\pi (x)-\int \limits _{2}^{x}!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}},\ln x,}

• Для ўсіх

x ⩾ 73.2

{\displaystyle x\geqslant 73.2}

справядліва няроўнасць

|

ψ ( x ) − x

|

<

1

8 π

x

ln

2

⁡ ( x ) ,

{\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}},\ln ^{2}(x),}

• Для ўсіх

n

5040

{\displaystyle n>5040}

верная няроўнасць

σ ( n ) <

e

γ

n log ⁡ log ⁡ n ,

{\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,}

дзе σ(n) — функцыя дзельнікаў ліку n, а γ — пастаянная Эйлера — Маскероні[3].

• Для ўсіх

n

1

{\displaystyle n>1}

спраўджваецца няроўнасць

σ ( n ) <

H

n

e

H

n

ln ⁡

H

n

,

{\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\ln H_{n},}

дзе H**n — n-ы гарманічны лік(руск.) бел.[4].

• Для любога дадатнага

ε

{\displaystyle \varepsilon }

выконваецца няроўнасць

M ( n )

O (

n

1

/

2 + ε

) ,

{\displaystyle M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon }),}

дзе M(n) — функцыя Мертэнса(руск.) бел., гл. таксама абазначэнне O вялікае. Мацнейшая гіпотэза

|

M ( n )

|

<

n

{\displaystyle |M(n)|<{\sqrt {n}},}

была абвергнута ў 1985 годзе[5].

• Гіпотэза Рымана раўназначная наступнай роўнасці:

∫

0

∞

( 1 − 12

t

2

)

( 1 + 4

t

2

)

3

∫

1

/

2

∞

log ⁡

|

ζ ( σ + i t )

|

d σ

d t

π ( 3 − γ )

32

{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \limits _{1/2}^{\infty }\log |\zeta (\sigma +it)|,d\sigma ,dt={\frac {\pi (3-\gamma )}{32}}}

.

• Калі гіпотэза Рымана несправядлівая, то існуе алгарытм, які рана ці позна выявіць яе парушэнне. Адсюль вынікае, што калі адмаўленне гіпотэзы Рымана недаказальнае ў арыфметыцы Пеана, то гіпотэза Рымана верная.

• Гіпотэза Рымана таксама раўназначная сцвярджэнню, што наступнае дыяфантава ўраўненне(руск.) бел. не мае рашэнняў у неадмоўных цэлых ліках:

( e l

g

2

α − ( b − x y )

q

2

)

2

( q −

b

5

60

)

2

( λ +

q

4

− 1 − λ

b

5

)

2

( θ + 2 z −

b

5

)

2

( u + t θ − l

)

2

( y + m θ − e

)

2

( n −

q

16

)

2

( ( g + e

q

3

l

q

5

( 2 ( e − z λ ) ( 1 + x

b

5

g

)

4

λ

b

5

λ

b

5

q

4

)

q

4

) (

n

2

− n ) +

(

q

3

− b l + l + θ λ

q

3

(

b

5

− 2 )

q

5

) (

n

2

− 1 ) − r

)

2

( p − 2 w

s

2

r

2

n

2

)

2

(

p

2

k

2

−

k

2

1 −

τ

2

)

2

( 4 ( c − k s

n

2

)

2

η −

k

2

)

2

( r + 1 + h p − h − k

)

2

( a − ( w

n

2

1 ) r s

n

2

)

2

( 2 r + 1 + ϕ − c

)

2

( b w + c a − 2 c + 4 α γ − 5 γ − d

)

2

( (

a

2

− 1 )

c

2

1 −

d

2

)

2

( (

a

2

− 1 )

i

2

c

4

1 −

f

2

)

2

( ( ( a +

f

2

(

d

2

− a )

)

2

− 1 ) ( 2 r + 1 + j c

)

2

1 − ( d + o f

)

2

)

2

( ( ( z + u + y

)

2

u

)

2

y − K

)

2

= 0

{\displaystyle {\begin{aligned}&(elg^{2}+\alpha -(b-xy)q^{2})^{2}+(q-b^{5^{60}})^{2}+(\lambda +q^{4}-1-\lambda b^{5})^{2}+\&(\theta +2z-b^{5})^{2}+(u+t\theta -l)^{2}+(y+m\theta -e)^{2}+(n-q^{16})^{2}+\&((g+eq^{3}+lq^{5}+(2(e-z\lambda )(1+xb^{5}+g)^{4}+\lambda b^{5}+\lambda b^{5}q^{4})q^{4})(n^{2}-n)+\&(q^{3}-bl+l+\theta \lambda q^{3}+(b^{5}-2)q^{5})(n^{2}-1)-r)^{2}+\&(p-2ws^{2}r^{2}n^{2})^{2}+(p^{2}k^{2}-k^{2}+1-\tau ^{2})^{2}+\&(4(c-ksn^{2})^{2}+\eta -k^{2})^{2}+(r+1+hp-h-k)^{2}+\&(a-(wn^{2}+1)rsn^{2})^{2}+(2r+1+\phi -c)^{2}+\&(bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d)^{2}+\&((a^{2}-1)c^{2}+1-d^{2})^{2}+((a^{2}-1)i^{2}c^{4}+1-f^{2})^{2}+\&(((a+f^{2}(d^{2}-a))^{2}-1)(2r+1+jc)^{2}+1-(d+of)^{2})^{2}+\&(((z+u+y)^{2}+u)^{2}+y-K)^{2}=0\end{aligned}}}

дзе K — некаторы вялікі фіксаваны цэлалікавы каэфіцыент (які, у прынцыпе, можна запісаць у яўным выглядзе), а астатнія літары абазначаюць зменныя. Ступень гэтага ўраўнення можна панізіць да чатырох цаною павелічэння колькасці зменных[6][7][8][9][10]. Гісторыя

У 1896 годзе Адамар і Вале-Пусен(руск.) бел. незалежна даказалі, што нулі дзэта-функцыі не могуць ляжаць на прамых

Re

s

0

{\displaystyle \operatorname {Re} ,s=0}

і

Re

s

1

{\displaystyle \operatorname {Re} ,s=1}

.

У 1900 годзе Давід Гільберт уключыў гіпотэзу Рымана ў спіс 23 нерэшаных праблем як частку восьмай праблемы, сумесна з гіпотэзаю Гольдбаха(руск.) бел..

У 1914 годзе Хардзі(руск.) бел. даказаў, што на крытычнай лініі знаходзіцца бесканечна многа нулёў, а пазней сумесна з Літлвудам(руск.) бел. даў ніжнюю ацэнку долі тых нулёў, што ляжаць на крытычнай лініі. Гэтую ацэнку потым паляпшалі розныя матэматыкі. Таксама ў 1914 годзе Я. П. Громер знайшоў неабходныя і дастатковыя ўмовы справядлівасці гіпотэзы Рымана ў аналітычнай тэорыі лікаў (няроўнасці Громера)[11].

Некаторыя нетрывіяльныя нулі размяшчаюцца экстрэмальна блізка адзін да аднаго. Гэтая ўласцівасць вядома як «з’ява Лемера»[12].

Цітчмарш і Ворас у 1987 годзе паказалі, што дзэта-функцыя можа быць раскладзена ў здабытак праз свае нетрывіяльныя нулі ў раскладанне Адамара.

На 2004 год праверана больш чым 1013 першых нулёў[13].

Група матэматыкаў Універсітэта Пердзью (ЗША) пад кіраўніцтвам Луі дэ Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) прапанавала доказ гіпотэзы Рымана[14], які, аднак, аказаўся няправільным[1].

Меркаванні аб справядлівасці гіпотэзы

У аглядных працах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) адзначаецца, што даныя на карысць справядлівасці гіпотэзы Рымана моцныя, але пакідаюць месца для абгрунтаваных сумненняў. Асобныя аўтары, аднак, упэўненыя ў няправільнасці гіпотэзы (напрыклад, так лічыў Джон Літлвуд).

Сярод вынікаў, якія дазваляюць дапускаць праўдзівасць гіпотэзы, можна выдзяліць паспяховы доказ падобных гіпотэз (у тым ліку, гіпотэзы Рымана аб мнагастайнасцях над канечнымі палямі[15]). Гэта найбольш моцны тэарэтычны довад, які дазваляе меркаваць, што ўмова Рымана выконваецца для ўсіх дзэта-функцый(англ.) бел., звязаных з аўтаморфнымі адлюстраваннямі(англ.) бел., што ўключае класічную гіпотэзу Рымана. Ісціннасць аналагічнай гіпотэзы ўжо даказана[16] для дзэта-функцыі Сельберга(англ.) бел., у нечым падобнай на функцыю Рымана, і для дзэта-функцыі Госа(англ.) бел. (аналаг дзэта-функцыі Рымана для функцыянальных палёў).

З другога боку, некаторыя з дзэта-функцый Эпштэйна не задавальняюць умову Рымана, хоць і маюць бесканечны лік нулёў на крытычнай лініі. Аднак гэтыя функцыі не выражаюцца праз рады Эйлера і не звязаныя напрамую з аўтаморфнымі адлюстраваннямі.

Да «практычных» довадаў на карысць справядлівасці Рыманавай гіпотэзы адносіцца вылічальная праверка вялікай колькасці нетрывіяльных нулёў дзэта-функцыі ў рамках праекта ZetaGrid.

Звязаныя праблемы

Дзве гіпотэзы Хардзі — Літлвуда

У 1914 годзе Годфры Харальд Хардзі даказаў[17], што функцыя

ζ

(

1 2

i t

)

{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

мае бесканечна многа рэчаісных нулёў.

Няхай

N ( T )

{\displaystyle N(T)}

ёсць колькасць рэчаісных нулёў, а

N

0

( T )

{\displaystyle N_{0}(T)}

колькасць нулёў няцотнага парадку функцыі

ζ

(

1 2

i t

)

{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

, якія ляжаць на прамежку

( 0 , T ]

{\displaystyle (0,T]}

![{\displaystyle (0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c12e3f78f8db2b37a4aed7f654aa7a160754bd9).

Дзве гіпотэзы Хардзі і Літлвуда[18] (аб адлегласці паміж рэчаіснымі нулямі

ζ

(

1 2

i t

)

{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

і аб шчыльнасці нулёў

ζ

(

1 2

i t

)

{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

на прамежках

( T , T + H ]

{\displaystyle (T,T+H]}

![{\displaystyle (T,T+H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7f206ba185f5e71e82482b52823f9cab4a9d99) пры досыць вялікім

T

0

{\displaystyle T>0}

,

H

T

a + ε

{\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}

і як можна меншым значэнні

a

0

{\displaystyle a>0}

, дзе

ε

0

{\displaystyle \varepsilon >0}

адвольна малы лік), вызначылі два напрамкі ў даследаванні дзэта-функцыі Рымана:

1. Для любога

ε

0

{\displaystyle \varepsilon >0}

існуе

T

0

=

T

0

( ε )

0

{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}

, такое што пры

T ⩾

T

0

{\displaystyle T\geqslant T_{0}}

і

H

T

0

,

25 + ε

{\displaystyle H=T^{0{,}25+\varepsilon }}

прамежак

( T , T + H ]

{\displaystyle (T,T+H]}

![{\displaystyle (T,T+H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7f206ba185f5e71e82482b52823f9cab4a9d99) утрымлівае нуль няцотнага парадку функцыі

ζ

(

1 2

i t

)

{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

. 2. Для любога

ε

0

{\displaystyle \varepsilon >0}

існуюць такія

T

0

=

T

0

( ε )

0

{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}

і

c

c ( ε )

0

{\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}

, што пры

T ⩾

T

0

{\displaystyle T\geqslant T_{0}}

і

H

T

0

,

5 + ε

{\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}

справядліва няроўнасць

N

0

( T + H ) −

N

0

( T ) ⩾ c H

{\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH}

.

Гіпотэза А. Сельберга

У 1942 годзе Атле Сельберг даследаваў праблему Хардзі — Літлвуда 2 і даказаў, што для любога

ε

0

{\displaystyle \varepsilon >0}

існуюць

T

0

=

T

0

( ε )

0

{\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}

і

c

c ( ε )

0

{\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}

, такія што для

T ⩾

T

0

{\displaystyle T\geqslant T_{0}}

і

H

T

0

,

5 + ε

{\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}

справядліва няроўнасць

N ( T + H ) − N ( T ) ⩾ c H log ⁡ T

{\displaystyle N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T}

.

У сваю чаргу, Атле Сельберг выказаў гіпотэзу[19], што можна паменшыць паказчык ступені

a

0

,

5

{\displaystyle a=0{,}5}

для велічыні

H

T

0

,

5 + ε

{\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}

.

У 1984 годзе А. А. Карацуба(руск.) бел. даказаў[20][21][22], што пры фіксаваным

ε

{\displaystyle \varepsilon }

з умоваю

0 < ε < 0,001

{\displaystyle 0<\varepsilon <0{,}001}

, даволі вялікім

T

{\displaystyle T}

і

H

T

a + ε

{\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}

,

a

27 82

=

1 3

−

1 246

{\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}

прамежак

( T , T + H )

{\displaystyle (T,T+H)}

утрымлівае не менш за

c H ln ⁡ T

{\displaystyle cH\ln T}

рэчаісных нулёў дзэта-функцыі Рымана

ζ

(

1 2

i t

)

{\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}

. Тым самым ён пацвердзіў гіпотэзу Сельберга.

Ацэнкі А. Сельберга і А. А. Карацубы з’яўляюцца непаляпшальнымі па парадку росту пры

T → + ∞

{\displaystyle T\to +\infty }

.

У 1992 годзе А. А. Карацуба даказаў[23], што аналаг гіпотэзы Сельберга справядлівы для «амаль усіх» прамежкаў

( T , T + H ]

{\displaystyle (T,T+H]}

![{\displaystyle (T,T+H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7f206ba185f5e71e82482b52823f9cab4a9d99),

H

T

ε

{\displaystyle H=T^{\varepsilon }}

, дзе

ε

{\displaystyle \varepsilon }

 — адвольна малы фіксаваны дадатны лік. Метад, распрацаваны Карацубам, дазваляе даследаваць нулі дзэта-функцыі Рымана на «звышкароткіх» прамежках крытычнай прамой, г.зн. на прамежках

( T , T + H ]

{\displaystyle (T,T+H]}

![{\displaystyle (T,T+H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7f206ba185f5e71e82482b52823f9cab4a9d99), даўжыня

H

{\displaystyle H}

якіх расце павольней за любую, нават адвольна малую, ступень

T

{\displaystyle T}

. Сярод іншага, ён даказаў, што для любых зададзеных лікаў

ε

{\displaystyle \varepsilon }

,

ε

1

{\displaystyle \varepsilon _{1}}

з умоваю

0 < ε ,

ε

1

< 1

{\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}

амаль усе прамежкі

( T , T + H ]

{\displaystyle (T,T+H]}

![{\displaystyle (T,T+H]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7f206ba185f5e71e82482b52823f9cab4a9d99) пры

H ⩾ exp ⁡

{ ( ln ⁡ T

)

ε

}

{\displaystyle H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}

утрымліваюць не менш чым

H ( ln ⁡ T

)

1 −

ε

1

{\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}

нулёў функцыі

ζ

(

1 2

i t

)

{\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}

. Гэтая ацэнка вельмі блізкая да тае, што вынікае з гіпотэзы Рымана.

Цікавыя факты

• Вядомы адказ Гільберта на пытанне, якія будуць яго дзеянні, калі ён па нейкай прычыне праспіць пяцьсот гадоў і раптам прачнецца. Матэматык адказаў, што перш за ўсё спытае, ці была даказана гіпотэза Рымана.
• Гіпотэза Рымана адносіцца да знакамітых адкрытых праблем матэматыкі(руск.) бел., у лік якіх у свой час уваходзіла і тэарэма Ферма. Як вядома, Ферма зрабіў запіс аб тым, што даказаў сваю тэарэму, не пакінуўшы самога доказу, і тым самым кінуў выклік наступным пакаленням матэматыкаў. Брытанскі матэматык Г. Х. Хардзі скарыстаў сітуацыю з гэтымі праблемамі для забеспячэння ўласнай бяспекі ў час марскіх падарожжаў. Кожны раз перад адпраўкаю ў падарожжа ён адпраўляў аднаму са сваіх калег тэлеграму: ДАКАЗАЎ ГІПОТЭЗУ РЫМАНА КРПК ПАДРАБЯЗНАСЦІ ПА ВЯРТАННІ КРПК. Хардзі лічыў, што бог не дапусціць паўтарэння сітуацыі з тэарэмаю Ферма і дазволіць яму шчасліва вярнуцца з плавання[24].

Гл. таксама

• Адкрытыя матэматычныя праблемы

Зноскі

1. 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.
2. ↑ Rules for the Millennium Prizes Архівавана 10 снежня 2011.
3. ↑ Гэта выглядае дзіўнавата, бо

lim sup

n → ∞

σ ( n )

n   log ⁡ log ⁡ n

=

e

γ

.

{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}

Няроўнасць парушаецца пры n = 5040 і некаторых меншых значэннях, але Гай Робін у 1984 годзе паказаў, што яно выконваецца для ўсіх большых цэлых, калі спраўджваецца гіпотэза Рымана. 4. ↑ Jeffrey C. Lagarias (2002). “An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis”. The American Mathematical Monthly 109 (6): 534–543. doi:10.2307/2695443. http://arxiv.org/abs/math/0008177. 5. ↑ Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). “Disproof of the Mertens conjecture”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138–160. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633. Retrieved on 10 чэрвеня 2014.  Архівавана 11 ліпеня 2012. 6. ↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done 7. ↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993. 8. ↑ Jones J. P., Undecidable diophantine equations 9. ↑ Martin Davis, Diophantine Equations & Computation Архівавана 24 мая 2010. 10. ↑ Martin Davis, The Incompleteness Theorem 11. ↑ Громмер Яков Пинхусович // Сотрудничество Беларусь — ЕС: наука и культура (руск.) 12. ↑ Weisstein, Eric W. Lehmer’s Phenomenon (англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld. 13. ↑ Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.) 14. ↑ Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis. Purdue News 15. ↑ Deligne P. (1974). “La conjecture de Weil. I”. Publications Mathématiques de l’IHÉS 43: 273–307. doi:10.1007/BF02684373. http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0. 16. ↑ Sheats J. (1998). “The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for Fq[T]”. Journal of Number Theory 71 (1): 121–157. doi:10.1006/jnth.1998.2232. 17. ↑ Hardy, G.H. (1914). “Sur les zeros de la fonction

ζ ( s )

{\displaystyle \zeta (s)}

”. Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012–1014. 18. ↑ Littlewood, J.E. (1921). “The zeros of Riemann’s zeta-function on the critical line”. Math. Zeits. (10): 283–317. 19. ↑ Selberg, A. (1942). “On the zeros of Riemann’s zeta-function”. Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1–59. 20. ↑ Карацуба, А. А. (1984). “О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569–584. 21. ↑ Карацуба, А. А. (1984). “Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)”. Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214–1224. 22. ↑ Карацуба, А. А. (1985). “О нулях дзета-функции Римана на критической прямой”. Труды МИАН (167): 167–178. 23. ↑ Карацуба, А. А. (1992). “О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой”. Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372–397. 24. ↑ С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Літаратура

• Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
• Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — В. 35.
• Bombieri, Enrico (2000) (PDF). The Riemann Hypothesis - official problem description. Clay Mathematics Institute. http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf. Retrieved on 2008-10-25.
• Conrey, Brian (2003) (PDF). The Riemann Hypothesis. 341–353. http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf.
• Sarnak, Peter (2008). “Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis”. in Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan et al. (PDF). The Riemann Hypothesis. CMS Books in Mathematics. New York: Springer. pp. 107–115. ISBN 978-0387721255. http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf. Retrieved on 10 чэрвеня 2014.  Архівавана 15 лістапада 2012.

Спасылкі

• Len Goodman and Eric W. Weisstein. Riemann Hypothesis (англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.

Тэмы гэтай старонкі (7):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Старонкі з модулем Hatnote з чырвонай спасылкай
Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай
Катэгорыя·Тэорыя лікаў
Катэгорыя·Адкрытыя матэматычныя праблемы
Катэгорыя·Аналітычная тэорыя лікаў
Катэгорыя·Задачы тысячагоддзя
Катэгорыя·Матэматычныя гіпотэзы