wd wp Пошук: ⬜

4-скорасць

У фізіцы, у тым ліку ў спецыяльнай і агульнай тэорыі адноснасці, 4-скорасць (чытаецца чатырох-скорасць) — 4-вектар (вектар у чатырохмернай прасторы-часе), які выконвае ролю адпаведніка звычайнай скорасці (трохмернага вектара).

Падзеі апісваюцца ў часе і прасторы, якія разам утвараюць чатырохмерную прастору-час. Гісторыя аб’екта адлюстроўваецца крывою ў прасторы-часе, так званаю сусветнаю лініяй, якую можна параметрызаваць уласным часам аб’екта. 4-скорасць ёсць скорасць змянення 4-становішча адносна ўласнага часу ўздоўж крывой. Звычайная ж скорасць ёсць скорасць змянення становішча аб’екта ў (трохмернай) прасторы, як гэта бачыць назіральнік з інерцыяльнай сістэмы адліку адносна свайго часу (г. зн. часу, вымеранага ў сістэме назіральніка).

Такім чынам, 4-скорасць ёсць унармаваны накіраваны ў будучыню часападобны датычны вектар да сусветнай лініі, і з’яўляецца контраварыянтным вектарам. Хоць 4-скорасць і з’яўляецца вектарам, вынік складання дзвюх 4-скарасцей не будзе 4-скорасцю: прастора 4-скарасцей не з’яўляецца вектарнаю прастораю.

Абсалютная велічыня 4-скорасці аб’екта заўсёды раўняецца скорасці святла c. Для аб’екта ў стане спакою (адносна сістэмы адліку) яго 4-скорасць накіравана ў напрамку часавай каардынаты.

Скорасць

Шлях аб’екта ў трохмернай прасторы (у інерцыяльнай сістэме адліку) можна апісаць з дапамогай трох каардынатных функцый

( t ) ,

i ∈ { 1 , 2 , 3 }

{\displaystyle x^{i}(t),;i\in \{1,2,3\}}

$\{\displaystyle x^\{i\}(t),\;i\in \\{1,2,3\\}\}$ ад часу

{\displaystyle t}

$\{\displaystyle t\}$ :

x →

( t )

[

( t )

]

{\displaystyle {\vec {x}}=x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\x^{2}(t)\x^{3}(t)\end{bmatrix}},}

$\{\displaystyle \{\vec \{x\}\}=x^\{i\}(t)=\{\begin\{bmatrix\}x^\{1\}(t)\\x^\{2\}(t)\\x^\{3\}(t)\end\{bmatrix\}\},\}$ дзе

( t )

{\displaystyle x^{i}(t)}

$\{\displaystyle x^\{i\}(t)\}$ абазначаюць тры прасторавыя каардынаты аб’екта ў момант часу t.

Кампаненты скорасці

u →

{\displaystyle {\vec {u}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{u\}\}\}$ (датычнай да крывой) у любым пункце сусветнае лініі вызначаюцца так

u →

[

]

x →

d t

[

d t

]

{\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\u^{2}\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={dx^{i} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.}

$\{\displaystyle \{\vec \{u\}\}=\{\begin\{bmatrix\}u^\{1\}\\u^\{2\}\\u^\{3\}\end\{bmatrix\}\}=\{d\{\vec \{x\}\} \over dt\}=\{dx^\{i\} \over dt\}=\{\begin\{bmatrix\}\{\tfrac \{dx^\{1\}\}\{dt\}\}\\\{\tfrac \{dx^\{2\}\}\{dt\}\}\\\{\tfrac \{dx^\{3\}\}\{dt\}\}\end\{bmatrix\}\}.\}$ Тэорыя адноснасці

У Эйнштэйнавай тэорыі адноснасці, шлях перамяшчэння аб’екта адносна нейкай сістэмы адліку вызначаецца чатырма каардынатнымі функцыямі

( τ ) ,

μ ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 }

{\displaystyle x^{\mu }(\tau ),;\mu \in \{0,1,2,3\}}

$\{\displaystyle x^\{\mu \}(\tau ),\;\mu \in \\{0,1,2,3\\}\}$ (дзе

{\displaystyle x^{0}}

$\{\displaystyle x^\{0\}\}$ абазначае часавую каардынату, дамножаную на c), кожная функцыя залежыць ад аднаго параметра

{\displaystyle \tau }

$\{\displaystyle \tau \}$ , які называецца ўласным часам аб’екта.

( τ )

[

( τ )

]

[

c t

( t )

]

{\displaystyle \mathbf {x} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\x^{1}(\tau )\x^{2}(\tau )\x^{3}(\tau )\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\x^{1}(t)\x^{2}(t)\x^{3}(t)\\end{bmatrix}}}

$\{\displaystyle \mathbf \{x\} =x^\{\mu \}(\tau )=\{\begin\{bmatrix\}x^\{0\}(\tau )\\x^\{1\}(\tau )\\x^\{2\}(\tau )\\x^\{3\}(\tau )\\\end\{bmatrix\}\}=\{\begin\{bmatrix\}ct\\x^\{1\}(t)\\x^\{2\}(t)\\x^\{3\}(t)\\\end\{bmatrix\}\}\}$

Запавольванне часу

Рэлятывісцкае запавольванне часу дае наступныя суадносіны

t

γ τ ,

{\displaystyle t=\gamma \tau ,}

$\{\displaystyle t=\gamma \tau ,\}$ дзе

{\displaystyle \gamma }

$\{\displaystyle \gamma \}$ — Лорэнцаў множнік, вызначаны наступным чынам:

γ

1 −

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}},}

$\{\displaystyle \gamma =\{\frac \{1\}\{\sqrt \{1-\{\frac \{u^\{2\}\}\{c^\{2\}\}\}\}\}\},\}$ а u — еўклідава норма вектара скорасці

u →

{\displaystyle {\vec {u}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{u\}\}\}$ :

u

‖

u →

‖

(

)

(

)

(

)

{\displaystyle u=|{\vec {u}}|={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}.}

$\{\displaystyle u=\|\{\vec \{u\}\}\|=\{\sqrt \{(u^\{1\})^\{2\}+(u^\{2\})^\{2\}+(u^\{3\})^\{2\}\}\}.\}$

Азначэнне 4-скорасці

4-скорасць ёсць датычны 4-вектар да сусветнае лініі. 4-скорасць у любым пункце сусветнае лініі

( τ )

{\displaystyle \mathbf {x} (\tau )}

$\{\displaystyle \mathbf \{x\} (\tau )\}$ вызначаецца так:

d τ

{\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }},}

$\{\displaystyle \mathbf \{U\} =\{\frac \{d\mathbf \{x\} \}\{d\tau \}\},\}$ дзе

{\displaystyle \mathbf {x} }

$\{\displaystyle \mathbf \{x\} \}$ — 4-становішча, а

{\displaystyle \tau }

$\{\displaystyle \tau \}$ — уласны час.

Гэтае азначэнне 4-скорасці, заснаванае на паняцці ўласнага часу аб’екта, нельга пашырыць ні на такія аб’екты, як фатоны, што рухаюцца з скорасцю святла, ні на тахіённыя сусветныя лініі, датычны вектар да якіх часападобны.

Кампаненты 4-скорасці

Сувязь паміж часам t і часаваю каардынатаю

{\displaystyle x^{0}}

$\{\displaystyle x^\{0\}\}$ задаецца так

= c t

c γ τ .

{\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau .}

$\{\displaystyle x^\{0\}=ct=c\gamma \tau .\}$ Беручы вытворную па ўласнаму часу

{\displaystyle \tau ,}

$\{\displaystyle \tau \,\}$ , знаходзім кампаненту 4-скорасці

{\displaystyle U^{\mu },}

$\{\displaystyle U^\{\mu \}\,\}$ для μ = 0:

d τ

= c γ .

{\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}=c\gamma .}

$\{\displaystyle U^\{0\}=\{\frac \{dx^\{0\}\}\{d\tau \}\}=c\gamma .\}$ Скарыстаўшы ланцуговае правіла, для

μ

i

{\displaystyle \mu =i=}

$\{\displaystyle \mu =i=\}$ 1, 2, 3, маем

d τ

c γ

d ( c t )

c γ

1 c

d t

c γ

d t

= γ

{\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}{\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}c\gamma ={\frac {dx^{i}}{d(ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {dx^{i}}{dt}}c\gamma =\gamma {\frac {dx^{i}}{dt}}=\gamma u^{i},}

$\{\displaystyle U^\{i\}=\{\frac \{dx^\{i\}\}\{d\tau \}\}=\{\frac \{dx^\{i\}\}\{dx^\{0\}\}\}\{\frac \{dx^\{0\}\}\{d\tau \}\}=\{\frac \{dx^\{i\}\}\{dx^\{0\}\}\}c\gamma =\{\frac \{dx^\{i\}\}\{d(ct)\}\}c\gamma =\{1 \over c\}\{\frac \{dx^\{i\}\}\{dt\}\}c\gamma =\gamma \{\frac \{dx^\{i\}\}\{dt\}\}=\gamma u^\{i\},\}$ дзе ўлічаны суадносіны

d t

{\displaystyle u^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}.}

$\{\displaystyle u^\{i\}=\{\frac \{dx^\{i\}\}\{dt\}\}.\}$ Такім чынам, 4-скорасць

{\displaystyle \mathbf {U} }

$\{\displaystyle \mathbf \{U\} \}$ выглядае так:

= γ

(

c ,

u →

)

{\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right).}

$\{\displaystyle \mathbf \{U\} =\gamma \left(c,\{\vec \{u\}\}\right).\}$ У тэрмінах мерак (і сінхранізаваных гадзіннікаў), звязаных з асобным участкам плоскай прасторы-часу, тры прасторападобныя кампаненты 4-скорасці вызначаюць уласную скорасць руху аб’екта

u →

= d

x →

d τ

{\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }

$\{\displaystyle \gamma \{\vec \{u\}\}=d\{\vec \{x\}\}/d\tau \}$ , г. зн. скорасць, з якою аб’ект пакрывае адлегласць у сістэме адліку за адзінку ўласнага часу, што прайшла на гадзінніку, які рухаецца разам з аб’ектам.

Гл. таксама

Зноскі

Einstein, Albert; translated by Robert W. Lawson (1920). Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995. https://archive.org/details/relativitythespe00einsuoft.
Rindler, Wolfgang (1991). Introduction to Special Relativity (2nd). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-853952-5. https://archive.org/details/introductiontosp0000rind.

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Прастора-час Мінкоўскага
Катэгорыя·Тэорыя адноснасці