wd wp Пошук: ⬜

Характарыстыка кальца

Характары́стыка (кальца ці поля) — найменшы лік n, такі што складанне n адвольных аднолькавых элементаў кальца дасць у выніку нуль. Калі такога дадатнага ліку няма, тады кажуць, што кальцо мае нулявую характарыстыку.

Гэта значыць, што характарыстыка кальца R (калі яна не роўная нулю) ёсць найменшы натуральны лік n, такі што для любога элемента x з кальца R справядліва роўнасць

x + ⋯ + x

⏟

= 0.

{\displaystyle \underbrace {x+\cdots +x} _{n}=0.}

$\{\displaystyle \underbrace \{x+\cdots +x\} _\{n\}=0.\}$ Характарыстыка кальца R абазначаецца як char R.

Азначэнне

Няхай

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ — адвольнае кальцо. Калі існуе такі дадатны лік

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ , што для любога элемента

r ∈ R

{\displaystyle r\in R}

$\{\displaystyle r\in R\}$ выконваецца роўнасць

n ⋅ r

r + ⋯ + r

⏟

= 0 ,

{\displaystyle n\cdot r=\underbrace {r+\cdots +r} _{n}=0,}

$\{\displaystyle n\cdot r=\underbrace \{r+\cdots +r\} _\{n\}=0,\}$ то найменшы з такіх лікаў

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ называецца характарыстыкай кальца

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ і абазначаецца сімвалам

char ⁡ R

{\displaystyle \operatorname {char} R}

$\{\displaystyle \operatorname \{char\} R\}$ . Пры гэтым кальцо

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ называецца кальцом дадатнай характарыстыкі

char ⁡ R

{\displaystyle \operatorname {char} R}

$\{\displaystyle \operatorname \{char\} R\}$ .

Калі ж такіх лікаў

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ няма, то лічаць

char ⁡ R

{\displaystyle \operatorname {char} R=0}

$\{\displaystyle \operatorname \{char\} R=0\}$ і называюць

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ кальцом характарыстыкі нуль.

У выпадку, калі кальцо

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ утрымлівае адзінку, азначэнне трохі спрашчаецца. У гэтым выпадку характарыстыку звычайна вызначаюць як найменшы ненулявы лік n, такі што

n ⋅ 1

0 ,

{\displaystyle n\cdot 1=0,}

$\{\displaystyle n\cdot 1=0,\}$ калі ж такога n няма, то характарыстыка лічыцца роўнай нулю.

Прыклады

Характарыстыкі кальца цэлых лікаў

{\displaystyle \mathbb {Z} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} \}$ , поля рацыянальных лікаў

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ , поля рэчаісных лікаў

{\displaystyle \mathbb {R} }

$\{\displaystyle \mathbb \{R\} \}$ , поля камплексных лікаў

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\{\displaystyle \mathbb \{C\} \}$ роўныя нулю.

Характарыстыка кальца вылікаў

{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Z\} /n\mathbb \{Z\} \}$ роўная

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ .

Характарыстыка канечнага поля

{\displaystyle \mathbb {F} _{p^{m}}}

$\{\displaystyle \mathbb \{F\} _\{p^\{m\}\}\}$ (дзе

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ — просты лік,

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ — натуральны лік) раўняецца

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ .

Уласцівасці

Калі кальцо

R ≠ { 0 }

{\displaystyle R\neq \{0\}}

$\{\displaystyle R\neq \\{0\\}\}$ з адзінкай і без дзельнікаў нуля мае дадатную характарыстыку

{\displaystyle n}

$\{\displaystyle n\}$ , то яна з’яўляецца простым лікам. Такім чынам, характарыстыка любога поля

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ ёсть альбо

{\displaystyle 0}

$\{\displaystyle 0\}$ , альбо просты лік

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ . У першым выпадку поле

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю рацыянальных лікаў

{\displaystyle \mathbb {Q} }

$\{\displaystyle \mathbb \{Q\} \}$ , у другім выпадку поле

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ утрымлівае ў якасці падполя поле, ізаморфнае полю вылікаў

{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{F\} _\{p\}\}$ . У абодвух выпадках гэтае падполе называецца простым полем (уключаным у

{\displaystyle K}

$\{\displaystyle K\}$ ).

Характарыстыка любога поля — просты лік ці нуль. Характарыстыка канечнага поля заўсёды дадатная, аднак з таго, што характарыстыка поля дадатная, не вынікае, што поле канечнае. У якасці контрпрыкладаў можна прывесці поле рацыянальных функцый з каэфіцыентамі ў

{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{F\} _\{p\}\}$ і алгебраічнае замыканне поля

{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}

$\{\displaystyle \mathbb \{F\} _\{p\}\}$ .

Калі

{\displaystyle R}

$\{\displaystyle R\}$ — камутатыўнае кальцо простай характарыстыкі

{\displaystyle p}

$\{\displaystyle p\}$ , то

( a + b

)

{\displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}}

$\{\displaystyle (a+b)^\{p^\{n\}\}=a^\{p^\{n\}\}+b^\{p^\{n\}\}\}$

для ўсіх

a , b ∈ R

{\displaystyle a,b\in R}

$\{\displaystyle a,b\in R\}$ ,

n ∈

{\displaystyle n\in \mathbb {N} }

$\{\displaystyle n\in \mathbb \{N\} \}$ . Для такіх кольцаў можна вызначыць эндамарфізм Фрабеніуса(руск.) бел.. Літаратура

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай
Катэгорыя·Тэорыя колцаў
Category:%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D1%96%2C %D1%8F%D0%BA%D1%96%D1%8F %D0%B2%D1%8B%D0%BA%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%9E%D0%B2%D0%B0%D1%8E%D1%86%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8D%D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%8B%D1%87%D0%BD%D1%8B%D1%8F %D1%82%D1%8D%D0%B3%D1%96 %D1%9E %D1%81%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%80%D1%8D%D0%BB%D1%8B%D0%BC %D1%84%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B5
Катэгорыя·Тэорыя палёў