Формулы скарочанага множання
Формулы скарочанага множання — часта сустракаемыя выпадкі множання мнагачленаў. Многія з іх з’яўляюцца асобнымі выпадкамі бінома Ньютана. Вывучаюцца ў сярэдняй школе ў курсе алгебры.
Формулы для квадратаў
- ( a ± b
)
2
=
a
2
± 2 a b +
b
2
{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
- a
2
−
b
2
= ( a + b ) ( a − b )
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
- (
a + b + c
)
2
=
a
2
b
2
c
2
2 a b + 2 a c + 2 b c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}
Формулы для кубоў
- ( a ± b
)
3
=
a
3
± 3
a
2
b + 3 a
b
2
±
b
3
{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
- a
3
±
b
3
= ( a ± b ) (
a
2
∓ a b +
b
2
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
- (
a + b + c
)
3
=
a
3
b
3
c
3
3
a
2
b + 3
a
2
c + 3 a
b
2
3 a
c
2
3
b
2
c + 3 b
c
2
6 a b c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}
Формулы для чацвёртай ступені
- ( a ± b
)
4
=
a
4
± 4
a
3
b + 6
a
2
b
2
± 4 a
b
3
b
4
{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
- a
4
−
b
4
= ( a − b ) ( a + b ) (
a
2
b
2
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})}
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
Формулы для n-ай ступені
- a
n
−
b
n
= ( a − b ) (
a
n − 1
a
n − 2
b +
a
n − 3
b
2
… +
a
2
b
n − 3
a
b
n − 2
b
n − 1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
- a
2 n
−
b
2 n
= ( a + b ) (
a
2 n − 1
−
a
2 n − 2
b +
a
2 n − 3
b
2
− … −
a
2
b
2 n − 3
a
b
2 n − 2
−
b
2 n − 1
)
{\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-\ldots -a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}
n ∈ N
{\displaystyle n\in N}
- a
2 n
−
b
2 n
= (
a
n
b
n
) (
a
n
−
b
n
)
{\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
- a
2 n + 1
b
2 n + 1
= ( a + b ) (
a
2 n
−
a
2 n − 1
b +
a
2 n − 2
b
2
− … +
a
2
b
2 n − 2
− a
b
2 n − 1
b
2 n
)
{\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-\ldots +a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}
n ∈ N
{\displaystyle n\in N}
Некаторыя ўласцівасці формул
- ( a − b
)
2 n
= ( b − a
)
2 n
{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}
n ∈ N
{\displaystyle n\in N}
- ( a − b
)
2 n + 1
= − ( b − a
)
2 n + 1
{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}
n ∈ N
{\displaystyle n\in N}
Гл. таксама
Літаратура
- М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.
Катэгорыя·Мнагачлены
Катэгорыя·Элементарная алгебра