wd wp Пошук: ⬜

Тэарэма Гюйгенса-Штэйнера

Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера, ці проста тэарэма Штэйнера (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі

{\displaystyle J}

$\{\displaystyle J\}$ цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела

{\displaystyle J_{C}}

$\{\displaystyle J_\{C\}\}$ адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ на квадрат адлегласці

{\displaystyle d}

$\{\displaystyle d\}$ паміж восямі:

J

{\displaystyle J=J_{C}+md^{2},!}

$\{\displaystyle J=J_\{C\}+md^\{2\}\,\!\}$ дзе

{\displaystyle J_{C}}

$\{\displaystyle J_\{C\}\}$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,

{\displaystyle J}

$\{\displaystyle J\}$ — шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,

{\displaystyle m}

$\{\displaystyle m\}$ — маса цела,

{\displaystyle d}

$\{\displaystyle d\}$ — адлегласць паміж указанымі восямі. Выснова

Момант інерцыі, паводле азначэння:

J

∑

i

(

r ′

→

)

{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r’}}_{i})^{2},!}

$\{\displaystyle J=\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}(\{\vec \{r’\}\}_\{i\})^\{2\}\,\!\}$ Радыус-вектар

r ′

→

{\displaystyle {\vec {r’}}_{i},!}

$\{\displaystyle \{\vec \{r’\}\}_\{i\}\,\!\}$ можна распісаць як суму двух вектараў:

r ′

→

r →

d →

{\displaystyle {\vec {r’}}_{i}={\vec {r}}_{i}+{\vec {d}},!}

$\{\displaystyle \{\vec \{r’\}\}\{i\}=\{\vec \{r\}\}\{i\}+\{\vec \{d\}\}\,\!\}$ , дзе

d →

{\displaystyle {\vec {d}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{d\}\}\}$ — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння. Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

J

∑

i

(

r →

)

∑

i

r →

d →

∑

i

(

d →

)

{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}{\vec {d}}+\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {d}})^{2},!}

$\{\displaystyle J=\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}(\{\vec \{r\}\}\{i\})^\{2\}+2\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}\{\vec \{r\}\}\{i\}\{\vec \{d\}\}+\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}(\{\vec \{d\}\})^\{2\}\,\!\}$ Выносячы за суму

d →

{\displaystyle {\vec {d}}}

$\{\displaystyle \{\vec \{d\}\}\}$ , атрымаем:

J

∑

i

(

r →

)

d →

∑

i

r →

∑

i

{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+2{\vec {d}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},!}

$\{\displaystyle J=\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}(\{\vec \{r\}\}\{i\})^\{2\}+2\{\vec \{d\}\}\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}\{\vec \{r\}\}\{i\}+d^\{2\}\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}\,\!\}$ Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

∑

i

r →

= 0

{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}=0,!}

$\{\displaystyle \sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}\{\vec \{r\}\}_\{i\}=0\,\!\}$ Тады:

J

∑

i

(

r →

)

∑

i

{\displaystyle J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}({\vec {r}}_{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i},!}

$\{\displaystyle J=\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}(\{\vec \{r\}\}_\{i\})^\{2\}+d^\{2\}\sum \{i=1\}^\{n\}m\{i\}\,\!\}$ Адкуль і вынікае шуканая формула:

J

{\displaystyle J=J_{C}+md^{2},!}

$\{\displaystyle J=J_\{C\}+md^\{2\}\,\!\}$ , дзе

{\displaystyle J_{C}}

$\{\displaystyle J_\{C\}\}$ — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Прыклад

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю

{\displaystyle C}

$\{\displaystyle C\}$ ) роўны

{\displaystyle J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.}

$\{\displaystyle J_\{C\}=\{\frac \{mL^\{2\}\}\{12\}\}.\}$ Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

J

{\displaystyle J=J_{C}+md^{2},!}

$\{\displaystyle J=J_\{C\}+md^\{2\}\,\!\}$ дзе

{\displaystyle d}

$\{\displaystyle d\}$ — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю

{\displaystyle C}

$\{\displaystyle C\}$ . У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле

d

{\displaystyle d=L/2}

$\{\displaystyle d=L/2\}$ :

J

(

L 2

)

{\displaystyle J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.}

$\{\displaystyle J=J_\{C\}+m\left(\{\frac \{L\}\{2\}\}\right)^\{2\}=\{\frac \{mL^\{2\}\}\{12\}\}+\{\frac \{mL^\{2\}\}\{4\}\}=\{\frac \{mL^\{2\}\}\{3\}\}.\}$ Пералік тэнзара інерцыі

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар

i j

{\displaystyle \mathbf {J} _{ij}}

$\{\displaystyle \mathbf \{J\} _\{ij\}\}$ адносна адвольнага пункта з тэнзара

i j

{\displaystyle \mathbf {I} _{ij}}

$\{\displaystyle \mathbf \{I\} _\{ij\}\}$ адносна цэнтра мас. Няхай

{\displaystyle \mathbf {a} }

$\{\displaystyle \mathbf \{a\} \}$ — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

i j

m (

i j

−

) ,

{\displaystyle \mathbf {J} _{ij}=\mathbf {I} _{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}),}

$\{\displaystyle \mathbf \{J\} _\{ij\}=\mathbf \{I\} \{ij\}+m(a^\{2\}\delta \{ij\}-a\{i\}a\{j\}),\}$ дзе

x ^

y ^

z ^

{\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {\hat {x}} +a_{2}\mathbf {\hat {y}} +a_{3}\mathbf {\hat {z}} }

$\{\displaystyle \mathbf \{a\} =a_\{1\}\mathbf \{\hat \{x\}\} +a_\{2\}\mathbf \{\hat \{y\}\} +a_\{3\}\mathbf \{\hat \{z\}\} \}$ — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а

i j

{\displaystyle \delta _{ij}}

$\{\displaystyle \delta _\{ij\}\}$ — сімвал Кронекера. Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры

i

{\displaystyle i=j}

$\{\displaystyle i=j\}$ ) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

Гл. таксама

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Тэарэтычная механіка
Катэгорыя·Законы класічнай механікі
Катэгорыя·Фізічныя тэарэмы