wd wp Пошук: ⬜

Пераўтварэнне Гільберта

У матэматыцы і апрацоўцы сігналаў пераўтварэнне Гільберта — лінейны аператар, які супастаўляе кожнай функцыі

u ( t )

{\displaystyle u(t)}

$\{\displaystyle u(t)\}$ функцыю

H ( u ( t ) )

{\displaystyle H(u(t))}

$\{\displaystyle H(u(t))\}$ у той жа вобласці.

Пераўтварэнне Гільберта можа быць вызначана ў сэнсе галоўнага значэння інтэграла па Кошы:

H ( u ) ( t )

1 π

v.p.

∫

− ∞

∞

u ( τ )

t − τ

d τ

{\displaystyle H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}{\text{v.p.}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }},d\tau }

$\{\displaystyle H(u)(t)=\{\frac \{1\}\{\pi \}\}\{\text\{v.p.\}\}\int \limits _\{-\infty \}^\{\infty \}\{\frac \{u(\tau )\}\{t-\tau \}\}\,d\tau \}$ Ці, больш відавочна:

H ( u ) ( t )

−

1 π

lim

ϵ → 0

∫

∞

u ( t + τ ) − u ( t − τ )

d τ .

{\displaystyle H(u)(t)=-{\frac {1}{\pi }}\lim _{\epsilon \to 0}\int \limits _{\epsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }},d\tau .}

$\{\displaystyle H(u)(t)=-\{\frac \{1\}\{\pi \}\}\lim _\{\epsilon \to 0\}\int \limits _\{\epsilon \}^\{\infty \}\{\frac \{u(t+\tau )-u(t-\tau )\}\{\tau \}\}\,d\tau .\}$ Пры двухразовым ужыванні пераўтварэння Гільберта функцыя змяняе знак:

H ( H ( u ) ) ( t )

− u ( t ) ,

{\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t),,}

$\{\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t),\,\}$ пры ўмове, што абое пераўтварэнні існуюць.

Сувязь з пераўтварэннем Фур’е

Пераўтварэнне Гільберта з’яўляецца множнікам у спектральнай вобласці.

( H ( u ) ) ( ω )

− i

s g n

( ω ) ⋅

( u ) ( ω ) ,

{\displaystyle {\mathcal {F}}(H(u))(\omega )=-i\ \mathrm {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{F\}\}(H(u))(\omega )=-i\ \mathrm \{sgn\} (\omega )\cdot \{\mathcal \{F\}\}(u)(\omega ),\}$ дзе

( f ) ( ω )

∫

− ∞

∞

f ( t )

− i ω t

d t

{\displaystyle {\mathcal {F}}(f)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt}

$\{\displaystyle \{\mathcal \{F\}\}(f)(\omega )=\int \limits _\{-\infty \}^\{+\infty \}f(t)e^\{-i\omega t\}dt\}$ — варыянт прамога пераўтварэння Фур’е без множніка, які нарміруе.

Зваротнае пераўтварэнне

− 1

= − H

{\displaystyle H^{-1}=-H,}

$\{\displaystyle H^\{-1\}=-H\,\}$ Гл. таксама

Спасылкі

Пераўтварэнне Гільберта. Аналітычны сігнал. Архівавана 17 кастрычніка 2010.

Тэмы гэтай старонкі (3):
Катэгорыя·Інтэгральныя пераўтварэнні
Катэгорыя·Гарманічныя функцыі
Катэгорыя·Апрацоўка сігналаў