wd wp Пошук: ⬜

Закон Кюры

Закон Кюры — фізічны закон, які апісвае магнітную ўспрымальнасць парамагнетыкаў, якая пры пастаяннай тэмпературы для гэтага віду матэрыялаў прыблізна прама прапарцыянальная прыкладзенаму магнітнаму полю. Закон Кюры пастуліруе, што пры змене тэмпературы і пастаянным знешнім поле, ступень намагнічанасці парамагнетыкаў зваротна прапарцыянальная тэмпературы:

M

C ⋅

B T

{\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}},}

$\{\displaystyle M=C\cdot \{\frac \{B\}\{T\}\},\}$ дзе ў адзінках Міжнароднай сістэмы адзінак (СІ):

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ — намагнічанасць матэрыялу, якая атрымліваецца;

{\displaystyle B}

$\{\displaystyle B\}$ — магнітнае поле, як вымяраецца ў Тэслах;

{\displaystyle T}

$\{\displaystyle T\}$ — абсалютная тэмпература ў Кельвінах;

{\displaystyle C}

$\{\displaystyle C\}$ — пастаянная Кюры дадзенага матэрыялу. Гэтыя суадносіны, атрыманае эксперыментальна П. Кюры, выконваюцца толькі пры высокіх тэмпературах або слабых магнітных палях. У адваротным выпадку — гэта значыць пры нізкіх тэмпературах або пры моцных палях — намагнічанасць не падпарадкоўваецца гэтаму закону.

Вывад закона з выкарыстаннем квантавай статыстычнай механікі

Магнітная ўспрымальнасць парамагнетыка як функцыя тэмпературы.

Простыя мадэлі парамагнетыкаў засноўваюцца на здагадцы, што гэтыя матэрыялы складаюцца з частак або абласцей (парамагнетонаў), якія не ўзаемадзейнічаюць адзін з адным. Кожная вобласць мае ўласны магнітны момант, які можна пазначыць вектарнай велічынёй

μ →

{\displaystyle {\vec {\mu }}}

$\{\displaystyle \{\vec \{\mu \}\}\}$ . Энергія моманту магнітнага поля можа быць запісана наступным чынам:

E

−

μ →

⋅

B →

{\displaystyle E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}}

$\{\displaystyle E=-\{\vec \{\mu \}\}\cdot \{\vec \{B\}\}\}$

Вобласці з двума станамі (спін-1/2)

Для таго, каб спрасціць вывад, выкажам здагадку, што кожная з абласцей разгляданага парамагнетыка мае два станы моманту, кірунак якога можа супадаць з кірункам магнітнага поля або быць накіраваным ў процілеглы бок. У дадзеным выпадку магчымыя толькі два значэнні магнітнага моманту

{\displaystyle \mu }

$\{\displaystyle \mu \}$ ,

− μ

{\displaystyle -\mu }

$\{\displaystyle -\mu \}$ і два значэння энергіі

= − μ B

{\displaystyle E_{0}=-\mu B}

$\{\displaystyle E_\{0\}=-\mu B\}$ и

= μ B

{\displaystyle E_{1}=\mu B}

$\{\displaystyle E_\{1\}=\mu B\}$ . Пры пошуку магнітнай успрымальнасці парамагнетsка вызначаецца імавернасць для кожнай вобласці апынуцца ў стане, сунакіраваным магнітнаму полю. Іншымі словамі, вызначаецца матэматычнае чаканне намагнічанасці матэрыялу

{\displaystyle \mu }

$\{\displaystyle \mu \}$ :

⟨ μ ⟩

= μ P

( μ )

( − μ ) P

(

− μ

)

1 Z

(

μ B β

− μ

− μ B β

)

2 μ

sinh ⁡ ( μ B β ) ,

{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),}

$\{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)=\{1 \over Z\}\left(\mu e^\{\mu B\beta \}-\mu e^\{-\mu B\beta \}\right)=\{2\mu \over Z\}\sinh(\mu B\beta ),\}$ дзе імавернасць сістэмы апісваецца размеркаваннем Больцмана, статыстычная сума

{\displaystyle Z}

$\{\displaystyle Z\}$ забяспечвае нармалізацыю імавернасцей. Функцыя, якая нармуе, для адной вобласці можа быць прадстаўлена наступным чынам:

Z

∑

n

0 , 1

−

μ B β

− μ B β

= 2 cosh ⁡

(

μ B β

)

{\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right)}

$\{\displaystyle Z=\sum \{n=0,1\}e^\{-E\{n\}\beta \}=e^\{\mu B\beta \}+e^\{-\mu B\beta \}=2\cosh \left(\mu B\beta \right)\}$ Такім чынам, у двухспінавай мадэлі мы маем :

⟨ μ ⟩

= μ tanh ⁡

(

μ B β

)

{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)}

$\{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)\}$ Выкарыстоўваючы атрыманы выраз для адной вобласці, атрымліваем магнітную ўспрымальнасць ўсяго матэрыялу:

M

N

⟨ μ ⟩

= N μ tanh ⁡

(

μ B

k T

)

{\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)}

$\{\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left(\{\mu B \over kT\}\right)\}$

Выведзеная вышэй формула носіць назву ўраўнення Ланжавэна для парамагнетыкаў. П. Кюры ў ходзе эксперыментаў выявіў набліжэнне да гэтага закона, якое выконвалася пры высокіх тэмпературах і слабых магнітных палях. Выкажам здагадку, што абсалютнае значэнне тэмпературы

{\displaystyle T}

$\{\displaystyle T\}$ вялікае, а

{\displaystyle B}

$\{\displaystyle B\}$ мала. У дадзеным выпадку, часам званым рэжымам Кюры, велічыня аргументу гіпербалічнага тангенса малая:

(

μ B

k T

)

≪ 1

{\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1}

$\{\displaystyle \left(\{\mu B \over kT\}\right)\ll 1\}$ І так як вядома, што ў выпадку

≪ 1

{\displaystyle |x|\ll 1}

$\{\displaystyle |x|\ll 1\}$ выконваюцца суадносіны:

tanh ⁡ x ≈ x ,

{\displaystyle \tanh x\approx x,}

$\{\displaystyle \tanh x\approx x,\}$ атрымліваем вынік:

M

( T → ∞ )

N

μ

2

k

B

T

,

{\displaystyle \mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},}

$\{\displaystyle \mathbf \{M\} (T\rightarrow \infty )=\{N\mu ^\{2\} \over k\}\{\mathbf \{B\} \over T\},\}$

дзе канстанта Кюры роўная

C

{\displaystyle C=N\mu ^{2}/k}

$\{\displaystyle C=N\mu ^\{2\}/k\}$ . Таксама варта адзначыць, што ў процілеглым выпадку нізкіх тэмператур і моцных палёў,

{\displaystyle M}

$\{\displaystyle M\}$ і

N μ

{\displaystyle N\mu }

$\{\displaystyle N\mu \}$ маюць тэндэнцыю прымаць максімальныя значэнні, што адпавядае выпадку, калі ўсе вобласці маюць магнітны момант, які супадае па кірунку з магнітным полем.

Агульны выпадак

У агульным выпадку адвольнага размеркавання напрамкаў магнітных момантаў формула становіцца некалькі больш складанай (гл.англ.: Brillouin function). Як толькі значэнне спіна набліжаецца да бясконцасці, формула для магнітнай успрымальнасці прымае класічны выгляд.

Атрыманне з дапамогай класічнай статыстычнай механікі

Альтэрнатыўны падыход мяркуе, што парамагнетоны прадстаўляюць з сябе вобласці з магнітнымі момантамі, якія свабодна верцяцца. У дадзеным выпадку іх становішча вызначаецца вугламі ў сферычных каардынатах, а энергія адной вобласці прадстаўляецца ў выглядзе:

E

− μ B cos ⁡ θ ,

{\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}

$\{\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,\}$ дзе

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ — вугал паміж кірункам магнітнага моманту і кірункам магнітнага поля, які, выкажам здагадку, накіраваны ўздоўж каардынаты

{\displaystyle z}

$\{\displaystyle z\}$ . Адпаведная функцыя для адной вобласці будзе мець выгляд:

Z

∫

2 π

d ϕ

∫

d θ sin ⁡ θ exp ⁡ ( μ B β cos ⁡ θ ) .

{\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}

$\{\displaystyle Z=\int _\{0\}^\{2\pi \}d\phi \int _\{0\}^\{\pi \}d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).\}$ Як відаць, у дадзеным выпадку няма відавочнай залежнасці ад вугла

{\displaystyle \phi }

$\{\displaystyle \phi \}$ , і мы таксама можам ажыццявіць замену зменнай

y

cos ⁡ θ

{\displaystyle y=\cos \theta }

$\{\displaystyle y=\cos \theta \}$

y

cos ⁡ θ

{\displaystyle y=\cos \theta }

$\{\displaystyle y=\cos \theta \}$ , што дазваляе атрымаць:

Z

2 π

∫

− 1

d y exp ⁡ ( μ B β y )

2 π

exp ⁡ ( μ B β ) − exp ⁡ ( − μ B β )

μ B β

4 π sinh ⁡ ( μ B β )

μ B β .

{\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}

$\{\displaystyle Z=2\pi \int _\{-1\}^\{1\}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi \{\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta \}=\{4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .\}\}$ Матэматычнае чаканне кампаненты

{\displaystyle z}

$\{\displaystyle z\}$ будзе адпавядаць ступені намагнічанасці, а астатнія дзве звернуцца ў нуль пасля інтэгравання па

{\displaystyle \phi }

$\{\displaystyle \phi \}$ :

⟨

⟩

1 Z

∫

2 π

d ϕ

∫

d θ sin ⁡ θ exp ⁡ ( μ B β cos ⁡ θ )

[

μ cos ⁡ θ

]

{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}

$\{\displaystyle \left\langle \mu _\{z\}\right\rangle =\{1 \over Z\}\int _\{0\}^\{2\pi \}d\phi \int _\{0\}^\{\pi \}d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].\}$ Для спрашчэння вылічэнняў, запішам выраз у дыферэнцыяльнай форме па зменнай

{\displaystyle Z}

$\{\displaystyle Z\}$ :

⟨

⟩

Z B

∂

Z ,

{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial _{\beta }Z,}

$\{\displaystyle \left\langle \mu _\{z\}\right\rangle =\{1 \over ZB\}\partial _\{\beta \}Z,\}$ што дае:

⟨

⟩

= μ L ( μ B β ) ,

{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),}

$\{\displaystyle \left\langle \mu _\{z\}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),\}$ дзе

{\displaystyle L}

$\{\displaystyle L\}$ носіць назву функцыі Ланжавэна:

L ( x )

coth ⁡ x −

1 x

{\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}

$\{\displaystyle L(x)=\coth x-\{1 \over x\}.\}$ Гэтая функцыя мае сінгулярнасць (разрыў) для маленькіх значэнняў

{\displaystyle x}

$\{\displaystyle x\}$ , але на самой справе няма, так як дзве сінгулярнасці кампаненты з процілеглым знакам захоўваюць бесперапыннасць функцыі. На самай справе, яе паводзіны пры невялікіх значэннях аргументу

L ( x ) ≈ x

{\displaystyle L(x)\approx x/3}

$\{\displaystyle L(x)\approx x/3\}$ , што захоўвае дзеянне закона Кюры, але з утрая меншым пастаянным множнікам-канстантай Кюры. У выпадку мяжы з вялікім значэннем аргументу прымяненне гэтай функцыі таксама магчыма.

Прымяненне

Захаванне закона Кюры для парамагнетыкаў ў слабым магнітным полі дазваляе іх выкарыстанне ў якасці магнітных тэрмометраў.

Гл. таксама

Спасылкі

Закон Кюри — статья с сайта Элементы.ру
Закон Кюры — артыкул з БСЭ

Тэмы гэтай старонкі (2):
Катэгорыя·Фізічныя законы
Катэгорыя·Магнетызм