wd wp Пошук:
    ⬜

    Задача Кашы

    Зада́ча Кашы́ — адна з асноўных задач тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў (звычайных і з частковымі вытворнымі); заключаецца ў знаходжанні рашэння (інтэграла) дыферэнцыяльнага ўраўнення, якое задавальняе так званым пачатковым умовам (пачатковым дадзеных).

    Задача Кашы звычайна ўзнікае пры аналізе працэсаў, якiя вызначаюцца дыферэнцыяльным законам эвалюцыі і пачатковым станам (матэматычным выразам якіх і з’яўляюцца ўраўненне і пачатковая ўмова). Гэтым матывуецца тэрміналогія і выбар абазначэнняў: пачатковыя дадзеныя задаюцца пры

    t

    0

    {\displaystyle t=0}

    \{\displaystyle t=0\}, а рашэнне адшукваецца пры

    t

    0

    {\displaystyle t>0}

    \{\displaystyle t>0\}.

    Ад краявых задач задача Кашы адрозніваецца тым, што вобласць, у якой павінна быць вызначана шуканае рашэнне, тут не ўказваецца. Тым не менш, задачу Кашы можна разглядаць як адну з краявых задач.

    Асноўныя пытанні, якія звязаны з задачай Кашы, такія:

    1. Ці існуе (хоць бы лакальна) рашэнне задачы Кашы?
    2. Калі рашэнне існуе, то якая вобласць яго існавання?
    3. Ці з’яўляецца рашэнне адзіным?
    4. Калі рашэнне адзінае, то ці будзе яно карэктным, гэта значыць неперарыўным (у якім-небудзь сэнсе) адносна пачатковых дадзеных?

    Кажуць, што задача Кашы мае адзінае рашэнне, калі яна мае рашэнне

    y

    f ( x )

    {\displaystyle y=f(x)}

    \{\displaystyle y=f(x)\}, і ніякае іншае рашэнне не адпавядае інтэгральнай крывой, якая ў адвольна малым выкалатым наваколлі кропкі

    (

    x

    0

    ,

    y

    0

    )

    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}

    \{\displaystyle (x_\{0\},y_\{0\})\} мае поле напрамкаў, якое супадае з полем напрамкаў

    y

    f ( x )

    {\displaystyle y=f(x)}

    \{\displaystyle y=f(x)\}. Кропка

    (

    x

    0

    ,

    y

    0

    )

    {\displaystyle (x_{0},y_{0})}

    \{\displaystyle (x_\{0\},y_\{0\})\} задае пачатковыя ўмовы.

    Розныя пастаноўкі задачы Кашы

    {

    y ′

    =

    f ( x , y )

    y (

    x

    0

    )

    =

    y

    0

    {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcl}y’&=&f(x,y)\y(x_{0})&=&y_{0}\end{array}}\right.}

    \{\displaystyle \left\\{\{\begin\{array\}\{lcl\}y’&=&f(x,y)\\y(x_\{0\})&=&y_\{0\}\end\{array\}\}\right.\}

    n

    {\displaystyle n}

    \{\displaystyle n\} ЗДУ першага парадку, вырашаная адносна вытворных (нармальная сістэма

    n

    {\displaystyle n}

    \{\displaystyle n\}-га парадку)

    {

    y

    1

    ′

    =

    f

    1

    ( x ,

    y

    1

    , … ,

    y

    n

    )

    …

    y

    n

    ′

    =

    f

    n

    ( x ,

    y

    1

    , … ,

    y

    n

    )

    y

    1

    (

    x

    0

    )

    =

    y

    01

    …

    y

    n

    (

    x

    0

    )

    =

    y

    0 n

    }

    ⟺

    {

    y

    ′

    =

    f

    ( x ,

    y

    )

    y

    (

    x

    0

    )

    =

    y

    0

    {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcl}y’_{1}&=&f_{1}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\&\ldots &\y’_{n}&=&f_{n}(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\y_{1}(x_{0})&=&y_{01}\&\ldots &\y_{n}(x_{0})&=&y_{0n}\end{array}}\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}\mathbf {y} ‘&=&\mathbf {f} (x,\mathbf {y} )\\mathbf {y} (x_{0})&=&\mathbf {y_{0}} \end{array}}\right.}

    \{\displaystyle \left\\{\{\begin\{array\}\{lcl\}y’\{1\}&=&f\{1\}(x,y_\{1\},\ldots ,y_\{n\})\\&\ldots &\\y’\{n\}&=&f\{n\}(x,y_\{1\},\ldots ,y_\{n\})\\y_\{1\}(x_\{0\})&=&y_\{01\}\\&\ldots &\\y_\{n\}(x_\{0\})&=&y_\{0n\}\end\{array\}\}\right\\}\iff \left\\{\{\begin\{array\}\{lcl\}\mathbf \{y\} ‘&=&\mathbf \{f\} (x,\mathbf \{y\} )\\\mathbf \{y\} (x_\{0\})&=&\mathbf \{y_\{0\}\} \end\{array\}\}\right.\}

    n

    {\displaystyle n}

    \{\displaystyle n\}-га парадку, вырашанае адносна старэйшай вытворнай

    {

    y

    ( n )

    =

    f ( x , y , … ,

    y

    ( n − 1 )

    )

    y (

    x

    0

    )

    =

    y

    01

    …

    y

    ( n − 1 )

    (

    x

    0

    )

    =

    y

    0 n

    }

    ⟺

    {

    y

    1

    ′

    =

    y

    2

    (

    y ′

    )

    …

    y

    n − 1

    ′

    =

    y

    n

    (

    y

    ( n − 1 )

    )

    y

    n

    ′

    =

    f ( x ,

    y

    1

    , … ,

    y

    n

    )

    y

    1

    (

    x

    0

    )

    =

    y

    01

    (

    y (

    x

    0

    ) )

    …

    y

    n

    (

    x

    0

    )

    =

    y

    0 n

    (

    y

    ( n − 1 )

    (

    x

    0

    ) )

    {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcl}y^{(n)}&=&f(x,y,\ldots ,y^{(n-1)})\y(x_{0})&=&y_{01}\&\ldots &\y^{(n-1)}(x_{0})&=&y_{0n}\end{array}}\right\}\iff \left\{{\begin{array}{lcl}y’_{1}&=&y_{2}\quad (=y’)\&\ldots &\y’_{n-1}&=&y_{n}\quad (=y^{(n-1)})\y’_{n}&=&f(x,y_{1},\ldots ,y_{n})\y_{1}(x_{0})&=&y_{01}\quad (=y(x_{0}))\&\ldots &\y_{n}(x_{0})&=&y_{0n}\quad (=y^{(n-1)}(x_{0}))\end{array}}\right.}

    \{\displaystyle \left\\{\{\begin\{array\}\{lcl\}y^\{(n)\}&=&f(x,y,\ldots ,y^\{(n-1)\})\\y(x_\{0\})&=&y_\{01\}\\&\ldots &\\y^\{(n-1)\}(x_\{0\})&=&y_\{0n\}\end\{array\}\}\right\\}\iff \left\\{\{\begin\{array\}\{lcl\}y’\{1\}&=&y\{2\}\quad (=y’)\\&\ldots &\\y’\{n-1\}&=&y\{n\}\quad (=y^\{(n-1)\})\\y’\{n\}&=&f(x,y\{1\},\ldots ,y_\{n\})\\y_\{1\}(x_\{0\})&=&y_\{01\}\quad (=y(x_\{0\}))\\&\ldots &\\y_\{n\}(x_\{0\})&=&y_\{0n\}\quad (=y^\{(n-1)\}(x_\{0\}))\end\{array\}\}\right.\} Літаратура

    Тэмы гэтай старонкі (5):
    Катэгорыя·Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных
    Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю з нумарамі старонак
    Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю без назвы артыкула
    Катэгорыя·Дыферэнцыяльныя ўраўненні
    Катэгорыя·Вікіпедыя·Спасылкі на Беларускую энцыклапедыю без аўтара