wd wp Пошук:
    ⬜

    Ураўненні сумеснасці дэфармацый

    Ураўненні сумяшчальнасці дэфармацый[1] — матэматычныя ўраўненні, якія выражаюць адзін з асноватворных прынцыпаў механікі суцэльных асяроддзяў — прынцып сумяшчальнасці дэфармацый. Сутнасць апошняга заключаецца ў тым, што кампаненты тэнзара дэфармацыі павінны падпарадкоўвацца ўраўненню сумяшчальнасці, бо ў адваротным выпадку разглядаемае цела не будзе з’яўляцца суцэльным асяроддзем. Ураўненні сумяшчальнасці дэфармацый часта называюць тоеснасцямі Сен-Венана[ru].

    Матэматычны выраз прынцыпу

    Матэматычна абмежаванні накладваюцца на тэнзар дэфармацыі. У залежнасці ад сітуацыі могуць выкарыстоўвацца тэнзар дэфармацыі Кашы—Грына

    E

    i j

    =

    1 2

    (

    ∂

    u

    i

    ∂

    x

    j

    ∂

    u

    j

    ∂

    x

    i

    ∑

    l

    ∂

    u

    l

    ∂

    x

    i

    ∂

    u

    l

    ∂

    x

    j

    )

    ,

    {\displaystyle E_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}+\sum \limits _{l}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{j}}}\right),}

    \{\displaystyle E_\{ij\}=\{\frac \{1\}\{2\}\}\left(\{\frac \{\partial u_\{i\}\}\{\partial x_\{j\}\}\}+\{\frac \{\partial u_\{j\}\}\{\partial x_\{i\}\}\}+\sum \limits \{l\}\{\frac \{\partial u\{l\}\}\{\partial x_\{i\}\}\}\{\frac \{\partial u_\{l\}\}\{\partial x_\{j\}\}\}\right),\} тэнзар дэфармацый Альманзі

    A

    i j

    =

    1 2

    (

    ∂

    u

    i

    ∂

    x

    j

    ∂

    u

    j

    ∂

    x

    i

    −

    ∑

    l

    ∂

    u

    l

    ∂

    x

    i

    ∂

    u

    l

    ∂

    x

    j

    )

    ,

    {\displaystyle A_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}-\sum \limits _{l}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{j}}}\right),}

    \{\displaystyle A_\{ij\}=\{\frac \{1\}\{2\}\}\left(\{\frac \{\partial u_\{i\}\}\{\partial x_\{j\}\}\}+\{\frac \{\partial u_\{j\}\}\{\partial x_\{i\}\}\}-\sum \limits \{l\}\{\frac \{\partial u\{l\}\}\{\partial x_\{i\}\}\}\{\frac \{\partial u_\{l\}\}\{\partial x_\{j\}\}\}\right),\} ці тэнзар малых дэфармацый

    ε

    i j

    =

    1 2

    (

    ∂

    u

    i

    ∂

    x

    j

    ∂

    u

    j

    ∂

    x

    i

    )

    .

    {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right).}

    \{\displaystyle \varepsilon \{ij\}=\{\frac \{1\}\{2\}\}\left(\{\frac \{\partial u\{i\}\}\{\partial x_\{j\}\}\}+\{\frac \{\partial u_\{j\}\}\{\partial x_\{i\}\}\}\right).\} Тры кампаненты поля зрушэнняў звязаныя з 6 кампанентамі тэнзара дэфармацый. Для таго, каб гэтая сістэма ўраўненняў мела рашэнне, адназначнае ў замкнёнай адназвязнай вобласці, неабходна і дастаткова, каб выконваліся наступныя ўраўненні

    ∇ × E × ∇

    0 ,

    {\displaystyle \nabla \times E\times \nabla =0,}

    \{\displaystyle \nabla \times E\times \nabla =0,\}

    ∇ × A × ∇

    0 ,

    {\displaystyle \nabla \times A\times \nabla =0,}

    \{\displaystyle \nabla \times A\times \nabla =0,\}

    ∇ × ε × ∇

    {\displaystyle \nabla \times \varepsilon \times \nabla =0.}

    \{\displaystyle \nabla \times \varepsilon \times \nabla =0.\} Зноскі

    1. ↑ Сопротивление материалов (Биргер И. А.)
    Тэмы гэтай старонкі (2):
    Катэгорыя·Механіка суцэльных асяроддзяў
    Катэгорыя·Механіка суцэльных асяроддзяў