wd wp Пошук: ⬜

Сферычная сістэма каардынат

Сферычную сістэму каардынат зручна вызначаць, суадносячы з дэкартавай прамавугольнай сістэмай каардынат (гл. малюнак):

Сферычнымі каардынатамі называюць сістэму каардынат для адлюстравання геаметрычных уласцівасцей фігуры ў трох вымярэннях з дапамогай заданні трох каардынат

( r ,

θ ,

φ )

{\displaystyle (r,;\theta ,;\varphi )}

$\{\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )\}$ , где

{\displaystyle r}

$\{\displaystyle r\}$ - адлегласць да пачатку каардынат, а

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ и

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ - зенітны і азімутальны вугал адпаведна.

Паняцці зеніт і азімут шырока выкарыстоўваюцца ў астраноміі. Наогул зеніт - гэта напрамак вертыкальнага ўздыму над адвольна абраным пунктам (пунктам назірання) або плоскасцю, у якой ляжыць гарызонт, або плоскасцю экліптыкі і г. д., што спараджае розныя сістэмы нябесных каардынат. Азімут - вугал паміж адвольна абраным прамянём фундаментальнай плоскасці з пачаткам у пункце назірання і іншым прамянём гэтай плоскасці, якія маюць агульны пачатак з першым.

У дачыненні да нашага малюнку сферычнай сістэмы каардынат, фундаментальная плоскасць — гэта плоскасць XY. Зеніт - нейкая аддаленая кропка, якая ляжыць на восі Z і бачная з пачатку каардынат. Азімут адлічваецца ад восі X да праекцыі радыус-вектара r на плоскасць XY. Гэта тлумачыць назвы вуглоў, як і тое, што сферычная сістэма каардынат можа служыць абагульненнем (хай хоць бы і набліжаным) мноства відаў сістэм нябесных каардынат.

Азначэнні

Тры каардынаты

( r ,

θ ,

φ )

{\displaystyle (r,;\theta ,;\varphi )}

$\{\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )\}$ вызначана як:

r ⩾ 0

{\displaystyle r\geqslant 0}

$\{\displaystyle r\geqslant 0\}$ — адлегласць ад пачатку каардынат да зададзенай кропкі

{\displaystyle P}

$\{\displaystyle P\}$ .

0 ⩽ θ ⩽

180

∘

{\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}

$\{\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^\{\circ \}\}$ — вугал меж воссю

{\displaystyle Z}

$\{\displaystyle Z\}$ і адрэзкам, які злучае пачатак каардынат і кропку

{\displaystyle P}

$\{\displaystyle P\}$ .

0 ⩽ φ <

360

∘

{\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^{\circ }}

$\{\displaystyle 0\leqslant \varphi <360^\{\circ \}\}$ — вугал меж воссю

{\displaystyle X}

$\{\displaystyle X\}$ і праэкцыяй адрэзка, які злучае пачатак каардынат з кропкай

{\displaystyle P}

$\{\displaystyle P\}$ , на плоскасць

X Y

{\displaystyle XY}

$\{\displaystyle XY\}$ (у ЗША вуглы

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ і

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ мяняюцца месцамі.

Вугал math>\theta называецца зенітным, або палярным, ці нармальным, а таксама ён можа быць названы англійскім словам colatitude, а вугал

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ - азымутальным. Вуглы

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ і

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ не маюць значэння пры

r

{\displaystyle r=0}

$\{\displaystyle r=0\}$ , а

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ не мае значэння пры

sin ⁡ ( θ )

{\displaystyle \sin(\theta )=0}

$\{\displaystyle \sin(\theta )=0\}$ (то ёсць пры

θ

{\displaystyle \theta =0}

$\{\displaystyle \theta =0\}$ ці

θ

180

∘

{\displaystyle \theta =180^{\circ }}

$\{\displaystyle \theta =180^\{\circ \}\}$ ).

Залежна ці незалежна ад стандарту ISO 31-11, існуе і такое пагадненне або канвенцыя (англ.: {{{1}}} convention), калі замест зенітнага вугла

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ , выкарыстоўваецца вугал паміж праекцыяй радыус-вектара пункту r на плоскасць xy і самім радыус-вектарам r, роўны

∘

{\displaystyle 90^{\circ }}

$\{\displaystyle 90^\{\circ \}\}$ —

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ . Ён называецца вуглом уздыму і можа быць пазначаны той жа літарай

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ . У гэтым выпадку ён будзе зменяцца ў межах

−

∘

⩽ θ ⩽

∘

{\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}

$\{\displaystyle -90^\{\circ \}\leqslant \theta \leqslant 90^\{\circ \}\}$ .

Тады вуглы

{\displaystyle \theta }

$\{\displaystyle \theta \}$ і

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ не маюць значэння пры

r

{\displaystyle r=0}

$\{\displaystyle r=0\}$ , так як і ў першаму выпадку, а

{\displaystyle \varphi }

$\{\displaystyle \varphi \}$ не мае значэння пры

cos ⁡ ( θ )

{\displaystyle \cos(\theta )=0}

$\{\displaystyle \cos(\theta )=0\}$ , (ужо пры

θ

−

∘

{\displaystyle \theta =-90^{\circ }}

$\{\displaystyle \theta =-90^\{\circ \}\}$ або

θ

∘

{\displaystyle \theta =90^{\circ }}

$\{\displaystyle \theta =90^\{\circ \}\}$ ).

Пераход да іншых сістэм каардынат

Дэкартава сістэма каардынат
- Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да дэкартавых здзейсняецца па формулам:
{

x

r sin ⁡ θ cos ⁡ φ ,

y

r sin ⁡ θ sin ⁡ φ ,

z

r cos ⁡ θ .

{\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{cases\}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end\{cases\}\}\}$
- Зваротна, ад дэкартавых да сферычных:
{

r

x

2

y

2


+

z

2




,




θ
=
arccos
⁡

(



z


x

2


+

y

2


+

z

2






)

=

a
r
c
t
g


(





x

2


+

y

2



z



)

,




φ
=

a
r
c
t
g


(



y
x



)

.








\{\displaystyle \{\begin\{cases\}r=\{\sqrt \{x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}\}\},\\\theta =\arccos \left(\{\dfrac \{z\}\{\sqrt \{x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}\}\}\}\right)=\mathrm \{arctg\} \left(\{\dfrac \{\sqrt \{x^\{2\}+y^\{2\}\}\}\{z\}\}\right),\\\varphi =\mathrm \{arctg\} \left(\{\dfrac \{y\}\{x\}\}\right).\end\{cases\}\}\}

![\{\displaystyle \{\begin\{cases\}r=\{\sqrt \{x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}\}\},\\\theta =\arccos \left(\{\dfrac \{z\}\{\sqrt \{x^\{2\}+y^\{2\}+z^\{2\}\}\}\}\right)=\mathrm \{arctg\} \left(\{\dfrac \{\sqrt \{x^\{2\}+y^\{2\}\}\}\{z\}\}\right),\\\varphi =\mathrm \{arctg\} \left(\{\dfrac \{y\}\{x\}\}\right).\end\{cases\}\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc08979ef78c3bd2b1ad934c81ce006a83aa192)
	- (тут, вядома, патрабуецца пэўнае натуральнае ўдакладненне для значэнняў 
	
	
	
	φ
	
	
	\{\displaystyle \varphi \}
	
	![\{\displaystyle \varphi \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e) па-за першым актантам; таксама для ўсіх формул з арктангенсам тут і ніжэй; зрэшты, замена на адпаведную формулу з арккосінусам здымае гэтае пытанне ў дачыненні да каардынаты 
	
	
	
	θ
	
	
	\{\displaystyle \theta \}
	
	![\{\displaystyle \theta \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)).
+ [Якабіян](/Якабіян "Якабіян") ператварэнні ад дэкартавых да сферычных:




J
=

r

2


sin
⁡
θ
.
 


\{\displaystyle J=r^\{2\}\sin \theta .\ \}

![\{\displaystyle J=r^\{2\}\sin \theta .\ \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6812f6e01d264fbf5f753538040f4374eb6e539)

Цыліндрычная сістэма каардынат
- Калі зададзены сферычныя каардынаты кропкі, то пераход да цыліндрычным ажыццяўляецца па формулах:
{

ρ

r sin ⁡ θ ,

φ

φ ,

z

r cos ⁡ θ .

{\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\varphi =\varphi ,\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

$\{\displaystyle \{\begin\{cases\}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end\{cases\}\}\}$
- Зваротна ад цыліндрычных да сферычных:
{

r

ρ

2

z

2




,




θ
=

a
r
c
t
g


(



ρ
z



)

,




φ
=
φ
.








\{\displaystyle \{\begin\{cases\}r=\{\sqrt \{\rho ^\{2\}+z^\{2\}\}\},\\\theta =\mathrm \{arctg\} \left(\{\dfrac \{\rho \}\{z\}\}\right),\\\varphi =\varphi .\end\{cases\}\}\}

![\{\displaystyle \{\begin\{cases\}r=\{\sqrt \{\rho ^\{2\}+z^\{2\}\}\},\\\theta =\mathrm \{arctg\} \left(\{\dfrac \{\rho \}\{z\}\}\right),\\\varphi =\varphi .\end\{cases\}\}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7098819ac782be22d85a80fc1044b3b5d43a4de5)
+ [Якабіян](/Якабіян "Якабіян") ператварэнні ад сферычных да цыліндрычных:




J
=
r
.
 


\{\displaystyle J=r.\ \}

![\{\displaystyle J=r.\ \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476e3dbbf16697a9cd9eb6df8c1081ac51fc629f)

Гл. таксама

Спасылкі

Weisstein, Eric W. Сферычныя каардынаты(англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Сістэмы каардынат
Катэгорыя·Назіральная астраномія
Катэгорыя·Нябесная механіка
Катэгорыя·Астраметрыя