wd wp Пошук: ⬜

Квадратычны закон узаемнасці

Квадратычны закон узаемнасці — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага параўнання па модулю(руск.) бел. простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.

Фармулёўка

Азначэнне сімвала Лежандра Няхай a — цэлы лік, і p — просты лік, не роўны 2. Сімвал Лежандра(руск.) бел.

(

a p

)

{\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)}

вызначаецца наступным чынам:

• (

a p

)

= 0

{\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=0}

, калі a дзеліцца на p;

• (

a p

)

= 1

{\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1}

, калі a з’яўляецца квадратычнаю рэштаю(руск.) бел. па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і існуе такі цэлы x, што

x

2

≡ a

( mod

p )

{\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}

;

• (

a p

)

= − 1

{\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1}

, калі a з’яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю p, г.зн. a не дзеліцца на p і не з’яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю p.

Тэарэма Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджае[1], што

(

p q

)

(

q p

)

= ( − 1

)

( p − 1 ) ( q − 1 )

4

,

{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}},}

дзе р і q — розныя няцотныя простыя лікі.

Таксама справядлівыя наступныя дапаўненні:

(

− 1

p

)

= ( − 1

)

p − 1

2

{\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}

    і    

(

2 p

)

= ( − 1

)

p

2

− 1

8

.

{\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}.}

Прымяненні

• Наступны факт, вядомы яшчэ П’еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў

x

2

1

{\displaystyle x^{2}+1}

могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі

4 k + 1

{\displaystyle 4k+1}

.

Іншымі словамі, параўнанне

 

x

2

1 ≡ 0

( mod

p )

{\displaystyle ~x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}

па простаму модулю

p

2

{\displaystyle p>2}

вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі

  p ≡ 1

( mod

4 )

.

{\displaystyle ~p\equiv 1{\pmod {4}}.}

З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:

(

− 1

p

)

= ( − 1

)

p − 1

2

.

{\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}.}

• Пытанне аб вырашальнасці параўнання

a

x

2

b x + c ≡ 0

( mod

p )

{\displaystyle ax^{2}+bx+c\equiv 0{\pmod {p}}}

развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці. Гісторыя

Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзе[2]. Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе. Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.

Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны Залатаровым(руск.) бел. у 1872 годзе[3][4][5].

Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасці[6].

Гл. таксама

• Сімвал Лежандра(руск.) бел.
• Сімвал Якобі(руск.) бел.
• Сімвал Кронекера — Якобі(руск.) бел.

Зноскі

1. ↑ Виноградов. Основы теории чисел. С. 70—71.
2. ↑ Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.
3. ↑ Zolotareff G. (1872). “Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre”. Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série 11: 354—362. http://www.math.us.edu.pl/~szyjewski/Archiwum/Zolotarew/zolot01.pdf. (недаступная спасылка)
4. ↑ Прасолов В. В. Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву // Математическое просвещение. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.
5. ↑ Горин Е. А. Перестановки и квадратичный закон взаимности по Золотареву-Фробениусу-Руссо // Чебышевский сборник. — 2013. — В. 4. — Т. 14. — С. 80-94.
6. ↑ Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. С. 73, 136.

Літаратура

• И. М. Виноградов. Основы теории чисел.. — М.: Наука, 1972.
• К. Айерлэнд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел.. — М.: Мир, 1987.

Спасылкі

• Weisstein, Eric W. Quadratic Reciprocity Theorem (англ.)  на старонцы Wolfram MathWorld.

Тэмы гэтай старонкі (4):
Катэгорыя·Вікіпедыя·Запыты на пераклад з рускай
Катэгорыя·Тэорыя лікаў
Катэгорыя·Вікіпедыя·Артыкулы з непрацоўнымі спасылкамі
Катэгорыя·Тэарэмы